14 - Derive:

h) y = s e n x + cos ⁡ x 3

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que obter a derivada da função y = s e n x + cos ⁡ x 3 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Analisando a função, vemos que se trata de uma função composta então temos que aplicar uma técnica para nos auxiliar nesse problema.

Para a derivada de funções compostas, o melhor método de derivação é a regra da cadeia.

Nesse método dizemos que a derivada de uma função f g x é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja

y ' = g ' x · f ' g x

Vamos ver como funciona na prática? 😁

Passo 2

A função interna do nosso caso é dada por g x = s e n x + cos ⁡ x e a função externa f g x = g x 3 .

Aplicando a regra da cadeia, temos

y ' = d s e n x + cos ⁡ x d x · d g x 3 d g x

Substituindo g x por uma variável qualquer

y ' = d s e n x + cos ⁡ x d x · d u 3 d u

y ' = d s e n x d x + d cos ⁡ x d x · d u 3 d u

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de u 3 é

d u 3 d u = 3 u 2

Já pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas de s e n x e cos ⁡ x são

d s e n x d x = cos ⁡ x

d cos ⁡ x d x = - s e n x

Substituindo em y ' e voltando u para g x ...

y ' = cos ⁡ x - s e n x · 3 g x 2

y ' = 3 cos ⁡ x - s e n x s e n x + cos ⁡ x 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

y ' = 3 cos ⁡ x - s e n x s e n x + cos ⁡ x 2

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