Derive a função

f x = a r c s e n 3 x + 1 2 + arccos ⁡ 1 x 2 + 1

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa função grandona aqui

f x = a r c s e n 3 x + 1 2 + arccos ⁡ 1 x 2 + 1  

E pediu para acharmos sua derivada. E agora, como fazer a derivada dessa coisa gigantesca?

Esse é o exemplo perfeito para aplicarmos as regras de derivação que conhecemos! Mas calma, uma de cada vez! Percebemos que aquele arco seno está ao cubo, então aí temos uma regra da cadeia para fazer!

E depois do arco, temos outra função! Então é cadeia neles! E aquele arco cosseno? Também! Dentro dele temos outra função, então ali precisamos aplicar também a regra da cadeia! Você lembra dela?

f g ' = f ' g .   g '

Deriva a de fora, conservando o argumento de dentro, depois deriva o argumento de dentro! Beleza?

Mas antes de começar, vamos relembrar de algumas fórmulas de derivadas?

arcsin ⁡ x ' = 1 1 - x 2 . x '

arccos ⁡ x ' = - 1 1 - x 2 . x '

Beleza? Agora é #partiu derivar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função que precisamos derivar é essa

f x = a r c s e n 3 x + 1 2 + arccos ⁡ 1 x 2 + 1

Derivando o cubo (que tem como argumento o arco seno) e o arco cosseno seguindo a regra da cadeia:

f ' = 3 arcsin 2 ⁡ ( x + 1 2 ) .   arcsin ⁡ x + 1 2 ' - - 1 1 - 1 x 2 + 1 2 1 x 2 + 1 '

Agora vamos derivar os argumentos!

= 3 arcsen 2 ⁡ x + 1 2 1 1 - x + 1 4 2 x + 1 + - 1 1 - 1 x 2 + 1 - x 2 + 1 ' 2 x 2 + 1 3 2

E derivar aquele último pedacinho x 2 + 1 ' :

= 2 x + 1 3 arcsen 2 ⁡ x + 1 2 1 - x + 1 4 + - 1 x 2 + 1 - 1 x 2 + 1 - 2 x 2 x 2 + 1 3 2

Tudo bem até aqui? Terminou? Não!

Precisamos simplificar essa coisa! Mas vamos aos poucos!

Passo 3

No termo mais à esquerda podemos fazer pouca coisa, só juntar aquele 2 com 3 , nada muito emocionante! Mas no termo mais à direita sim! Simplificando aquele denominador com raiz temos o seguinte

f ' = 2 x + 1 3 arcsen 2 ⁡ x + 1 2 1 - x + 1 4 + 1 x 2 x 2 + 1 x x 2 + 1 3 2

E invertendo a fração temos

= 6 x + 1 arcsen 2 ⁡ x + 1 2 1 - x + 1 4 + x 2 + 1 x 2 x x 2 + 1 3 2

Podemos agrupar x 2 + 1 do numerador e denominador

= 6 x + 1 arcsen 2 ⁡ x + 1 2 1 - x + 1 4 + x 2 + 1 1 2 x 2 x x 2 + 1 3 2

= 6 x + 1 arcsen 2 ⁡ x + 1 2 1 - x + 1 4 + x x 2 x 2 + 1

Note que não podemos simplesmente fazer x 2 = x , pois na verdade

x 2 = | x |

Então temos uma função ‘quebrada’, então podemos parar por aqui mesmo! E é esse nosso resultado!

f ' = 6 x + 1 arcsen 2 ⁡ x + 1 2 1 - x + 1 4 + x x 2 x 2 + 1

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

f ' = 6 x + 1 arcsen 2 ⁡ x + 1 2 1 - x + 1 4 + x x 2 x 2 + 1

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