Derive a função

g x = arctan ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa função grandona aqui

g x = arctan ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x  

E pediu para acharmos sua derivada. E agora, como fazer a derivada dessa coisa gigantesca?

Esse é o exemplo perfeito para aplicarmos as regras de derivação que conhecemos! Mas calma, uma de cada vez! Percebemos que dentro daquele arco tangente temos uma raiz! E dentro dessa raiz temos uma razão com cossenos. Então a função que está mais por fora é o arco tangente, depois a raiz e depois a razão com os cossenos!

Então é cadeia neles! Dentro do arco temos outra função, depois outra, depois mais outra, então ali precisamos aplicar a regra da cadeia! Você lembra dela?

f g ' = f ' g .   g '

Deriva a de fora, conservando o argumento de dentro, depois deriva o argumento de dentro! Beleza?

Mas antes de começar, vamos relembrar de algumas fórmulas de derivadas?

arc tan ⁡ x ' = 1 x 2 + 1 . x '

x ' = 1 2 x . x '

E a regra do quociente

f g ' = f ' g - g ' f g 2

Beleza? Agora é #partiu derivar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos aplicar a Regra da Cadeia nessa função:

g ' x = arctg ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x '

Isso será, pela Cadeia, a derivada de arctg ⁡ x , 1 1 + x 2 , com o 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x no lugar desse x , multiplicado pela derivada do 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x .

= 1 1 + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x '

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos para a derivada daquela raiz.

A derivada dessa raiz também sai pela Regra da Cadeia:

= 1 1 + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2 1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x - 1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x '

Tranquilo? Agora, a Regra do Produto para esse último termo:

1 1 + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x - 1 2 1 - cos ⁡ x ' 1 + cos ⁡ x - 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ' 1 + cos ⁡ x 2

Beleza? Fazendo as derivadas daqueles cossenos temos o seguinte

= 1 1 + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x - 1 2 sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x - 1 - cos ⁡ x - sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2

Ainda podemos arrumar mais um tantinho

= 1 1 + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x sen ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x + sen ⁡ x - sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2

= 1 1 + cos ⁡ x + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2 sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2

Show!

Passo 4

Agora nossa missão é reduzir ao máximo essa expressão! Bora lá! Começando pelos cossenos no denominador mais à esquerda e reorganizando os termos

g ' = 1 1 + cos ⁡ x + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2 sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2

= 2 sen ⁡ x 2 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Simplificando 1 + cos ⁡ x temos

= sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

E agora arrumando as raízes:

= sen ⁡ x 2 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x 1 2 1 + cos ⁡ x 1 2  

= sen ⁡ x 2 1 + cos ⁡ x 1 2 1 - cos ⁡ x 1 2  

Agrupando na mesma potência temos

= s e n   ( x ) 2 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x  

E aqui vem o pulo do gato! a + b a - b = a 2 - b 2

Aí ficamos assim:

= sen ⁡ x 2 1 - cos 2 ⁡ x   = sen ⁡ x 2 s e n 2 ( x )

E lembrando que x 2 = | x | temos nosso resultado final

g ' x = sen ⁡ x 2 sen ⁡ x

Ufa acabou!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

g ' x = sen ⁡ x 2 sen ⁡ x

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