2) Derive a função dada.

d) t x = x 2 + 10 sec ⁡ x + 5 - 2016 x 4 + 4 x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos derivar a função dada.

Pra isso vamos usar as regras de derivação como a regra da cadeia:

f ' x = g h x ' = h ' x g ' h x

E a regra do quociente:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g 2 x

Passo 2

Como é uma soma de termos, podemos derivar um de cada vez e depois somar.

- Pra x 2 + 10 sec ⁡ x + 5 vamos usar a regra do quociente:

x 2 + 10 sec ⁡ x + 5 ' = x 2 + 10 ' ( sec ⁡ x + 5 ) - x 2 + 10 ( sec ⁡ x + 5 ) ' sec ⁡ x + 5 2

Pra x 2 + 10 :

x 2 + 10 ' = 2 x

Pra sec ⁡ x + 5 :

sec ⁡ x + 5 ' = sec ⁡ x tan ⁡ x

Substituindo:

x 2 + 10 sec ⁡ x + 5 ' = ( 2 x ) ( sec ⁡ x + 5 ) - x 2 + 10 sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x + 5 2

Passo 3

- Pra - 2016 x 4 + 4 x vamos só fazer algumas manipulações pra deixar mais bonitinho:

= 2016 x 4 + 4 x = 2016 x 4 + 4 x 1 2  

= 2016   x 4 + 4 x - 1 2

Derivando:

2016   x 4 + 4 x - 1 2 ' = 2016 4 x 3 + 4 x ln ⁡ 4 - 1 2 x 4 + 4 x - 3 2

= 1008 4 x 3 + 4 x ln ⁡ 4 x 4 + 4 x 3 2

Somando tudo:

t ' x = 2 x sec ⁡ x + 5 - x 2 + 10 sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x + 5 2 + 1008 4 x 3 + 4 x ln ⁡ 4 x 4 + 4 x 3 2

Resposta

t ' x = 2 x sec ⁡ x + 5 - x 2 + 10 sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x + 5 2 + 1008 4 x 3 + 4 x ln ⁡ 4 x 4 + 4 x 3 2

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