14) Derive a função. (Se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x =   x 2 - 2 x + 2 2 x 4 + x 2 + 1  

Passo 1

Oii pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão precisamos calcular a derivada de f x =   x 2 - 2 x + 2 2 x 4 + x 2 + 1

Aqui temos uma função que é o quociente de dois polinômios, isso já nos indica que vamos precisar usar a regra do quociente. Além disso, no numerador temos todo um polinômio elevado ao quadrado, então vamos precisar usar a regra da cadeia pra encontrar essa derivada.

Bora aproveitar pra revisar essas regrinhas:

A regra do quociente fala que:

h x g x ' = h ' x ⋅ g x - h x ⋅ g ' x g 2 ( x )

A regra da cadeia diz que:

h m x ' = h ' m x ⋅ m ' x

Passo 2

Beleza, agora que demos uma olhada na estratégia e nas regras importantes de derivação pra essa questão, vamos para as contas:

h x = x 2 - 2 x + 2 2

Pela regra da cadeia, temos:

h y = y 2 ∴ h ' y = 2 y

m x = x 2 - 2 x + 2 ∴ m ' x = 2 x - 2

É como se y = x 2 - 2 x + 2 , Logo:

h ' x = 2 ⋅ x 2 - 2 x + 2 ⋅ 2 x - 2

Indo para o denominador, temos:

g x = x 4 + x 2 + 1 ∴ g ' x = 4 x 3 + 2 x

Passo 3

Pronto, agora que já temos todas as funções envolvidas bem como suas derivadas, é só substituir na regra do quociente:

f ' x = 2 ⋅ x 2 - 2 x + 2 ⋅ 2 x - 2 ⋅   x 4 + x 2 + 1 - x 2 - 2 x + 2 2 ⋅ 4 x 3 + 2 x x 4 + x 2 + 1 2  

Para simplificar um pouco essa sopa de letrinhas, bora colocar 2 x 2 - 2 x + 2 em evidência:

= 2 x 2 - 2 x + 2 ⋅ 2 x 5 + 2 x 3 + 2 x - 2 x 4 - 2 x 2 - 2 - 2 x 5 - 4 x 4 + 4 x 3 + x 3 - 2 x 2 + 2 x x 4 + x 2 + 1 2

Calma galera rs! Tem um monte de coisa cancelando e vai ficar bonito, olha:

f ' x = 2 x 2 - 2 x + 2 ⋅ 2 x 4 - 3 x 3 - 2 x 4 + x 2 + 1 2

Prontinho 😊

Resposta

f ' x = 2 x 2 - 2 x + 2 ⋅ 2 x 4 - 3 x 3 - 2 x 4 + x 2 + 1 2

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