Derive as funções dos itens a) e b) e calcule o limite do item c)

a) f x = tan ⁡ x 3

b) y t = 1 cos ⁡ t 2 - 1

c) lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 x

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho??

Nessa questão vamos aplicar nossos conhecimentos em derivadas e limites de uma função.

Na letra a) temos a função

f x = tan ⁡ x 3

Vemos que a função f x se trata de uma função contida em outra função, ou seja, podemos dividir a função f x como

f x = f g x

Onde

f g x = tan ⁡ g x g x = x 3

Aplicando a Regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função que tem uma função contida, será o produto da derivada da função contida pela derivada da função que a contém, então temos que

f ' x = f ' g x · g ' x

f ' x = d d g x ( tan ⁡ g x · d d x x 3

f ' x = s e c 2 g x · 3 x 2

Substituindo g x por x 3 , temos nossa função derivada

f ' x = s e c 2 x 3 · 3 x 2

Passo 2

Na letra b) temos a função

y t = 1 cos ⁡ t 2 - 1

Também podemos escreve-la da seguinte forma

y t = cos ⁡ t 2 - 1 - 1

Pode não ser tão simples de visualizar nesse caso, mas temos novamente uma função composta

y g t = g t - 1

Agora ficou mais claro?

Perceba também que temos que aplicar uma “regra da cadeia dupla” já que nossa g t também é uma função composta

g ' t = d d t 2 cos ⁡ t 2 · d d t t 2

g ' t = - s e n t 2 · 2 t

g ' t = - 2 t s e n t 2

Bora aplicar a regra da cadeia novamente para a função completa

y ' t = y ' g t · g ' t

y ' t = d d g t g t - 1 · - 2 t s e n t 2

y ' t = - 1 g t 2 · - 2 t s e n t 2

y ' t = 2 t s e n t 2 cos ⁡ t 2 - 1 2

Passo 3

Na letra c) vamos aplicar nossos conhecimentos em limites de funções, e olha... haja conhecimento rsrsrs. Esse item é a cereja do bolo!

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 x

Para começar, podemos escrever essa função como

e ln ⁡ 1 + 3 x 1 x → e ln ⁡ 1 + 3 x x

Aplicando a propriedade de exponencial em limites, temos

l i m x → 0 + e ln ⁡ 1 + 3 x x → e l i m x → 0 + ln ⁡ 1 + 3 x x

Vemos que resolvendo o novo limite e aplicando no exponencial, teremos o resultado

l i m x → 0 + ln ⁡ 1 + 3 x x

Aplicando a regra de L’Hopital

l i m x → 0 + d d x ln ⁡ 1 + 3 x d d x x

l i m x → 0 + 3 1 + 3 x 1 → l i m x → 0 + 3 1 + 3 x

Aplicando o limite:

l i m x → 0 + 3 1 + 3 0 = 3

Agora voltando ao exponencial

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 x = e l i m x → 0 + ln ⁡ 1 + 3 x x = e 3

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 x = e 3

Esse item exigia umas aplicações mais avançadas, mas conseguimos!

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí” 😉👍

Resposta

a) f ' x = s e c 2 x 3 · 3 x 2

b) y ' t = 2 t s e n t 2 cos ⁡ t 2 - 1 2

c) lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 x = e 3

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