O deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante é dado pela equação

y t = 10 + 1 4   s e n 10 π t

Em quais instantes de tempo a partícula está parada?

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?

Primeiro vamos lembrar do entendimento físico do que é velocidade: variação da posição/deslocamento em relação ao tempo.

No nosso caso, o deslocamento foi dado pela equação y ( t ) , então, para calcular a velocidade precisamos fazer d y d t , que já fizemos na letra (a). Agora, o problema pede pra gente determinar em quais instantes de tempo essa partícula vai estar parada, e, estar parada, quer dizer que sua velocidade é zero, correto?

Ou seja, pra encontrarmos os instantes que a partícula está parada, precisamos de d y d t = 0 .

Passo 2

Fazendo essa derivação, temos:

d y d t = d d t 10 + 1 4 s e n 10 π t

Pela distribuição, temos:

d y d t = d d t 10 + d d t 1 4 s e n 10 π t

d y d t = 1 4 d d t s e n 10 π t

Sabemos que d d x s e n n x = n   c o s ⁡ ( n x ) , onde n é um valor real e um número qualquer. Como 10 π é um número real, podemos dizer que:

d d t ( s e n 10 π t = 10 π cos ⁡ 10 π t

Passo 3

Por fim, nossa equação para velocidade toma a seguinte forma:

v = d y d t = 1 4 × 10 π cos ⁡ 10 π t

Então

5 π 2 cos ⁡ π t = 0

Se queremos descobrir qual é o tempo em que a velocidade é igual a zero, precisamos fazer:

cos ⁡ π t = 0

E quais são os valores possíveis para que isso seja verdadeiro? Quando c o s ⁡ ( a l g u m a   c o i s a ) é igual a zero?

Passo 4

Se a gente lembrar do círculo trigonométrico, vamos lembrar que cosseno é zero quando estamos em π / 2 , 3 π / 2 ,   5 π / 2 e assim por diante. Percebe que temos ali sempre que o número que está no numerador acompanhando o π são ímpares, certo?

π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 ,   …

E aí como podemos escrever isso de forma genérica?

2 n - 1 π 2

Onde n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Ou seja, o tempo em que a partícula está parada, é quando o argumento DENTRO DO COSSENO é igual a 2 n - 1 π / 2 .

π t = 2 n - 1 π 2 → t = 2 n - 1 2

Resposta

t = 2 n - 1 2

n = 1,2 , 3 …

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