Determine a derivada da função abaixo:

g x = e - 3 x + l n ( arcsen ⁡ x )

Passo 1

Pela regra da cadeia, a derivada do primeiro termo é

e - 3 x ' = e - 3 x - 3 = - 3 e - 3 x

Passo 2

A derivada de l n ( arcsen ⁡ x ) também será calculada usando regra da cadeia:

( l n arcsen ⁡ x ) ' = 1 arcsen ⁡ x ∙ ( arcsen ⁡ x ) '

Precisamos de ( arcsen ⁡ x ) ' . Lembrando que

a r c e s e n   x = s e n   y ↔ x = s e n   y

E

arcsen ⁡ x ' = 1 s e n ' y = 1 cos ⁡ y

E a partir do triângulo abaixo

Concluímos que

cos ⁡ y = 1 - x 2

Assim, descobrimos que

arcsen ⁡ x ' = 1 1 - x 2

Passo 3

Agora juntando as duas derivadas que calculamos teremos

g ' x = - 3 e - 3 x + 1 arcsen ⁡ x ∙ 1 1 - x 2

g ' x = - 3 e - 3 x + 1 arcsen ⁡ x ( 1 - x 2 )

Resposta

g ' x = - 3 e - 3 x + 1 arcsen ⁡ x ( 1 - x 2 )

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