Determine a derivada das funções abaixo

b )   h x = e x 2 + x - 1

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu essa função aqui

h x = e x 2 + x - 1

e pediu para determinarmos a derivada dela

mas calma aí! Sabemos algumas derivadas! Por exemplo a derivada da função exponencial:

f x = e x

A derivada de e x é ela mesma

f ' x = e x

Mas, e a derivada de

e x 2 + x - 1 ?

Aí que tá! O argumento da exponencial na derivada que conhecemos é ( x ) apenas, e não ( x 2 + x - 1 ) , ou qualquer outro polinômio, ou até outra função dentro!

Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia

A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta f ( g ( x ) ) , a derivada dessa função é:

f g x ' = f ' g x . g ' ( x )

f ' g x , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro g ' ( x )

E caso tenhamos outra função dentro da função g , por exemplo, uma outra função h ( x ) , é só manter o argumento na derivada de g ' ( h ( x ) ) e multiplicar pela derivada de h ' ( x ) .

É isso, é ir derivando de fora para dentro, mantendo o argumento das de dentro, depois multiplicando pela derivada da função de dentro.

Tranquilo?

Mas calma que vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função que precisa ser derivada é

h x = e x 2 + x - 1

a que está mais por fora é a e X , e a de dentro é a X = x 2 + x - 1 , então vamos aplicar a regra da cadeia: derivando a exponencial, mantendo o argumento X (eu troquei a expressão ( x 2 + x - 1 ) por X para facilitar nossa vida e visualizar que precisamos derivar apenas a função e fora, sem mexer no argumento dela, mas no final a gente volta a substituir pela expressão original) depois multiplicamos pela derivada de X :

h ' x = e X . X ' = e X . 2 x + 1 = e x 2 + x - 1 . ( 2 x + 1 )

h ' x = ( 2 x + 1 ) e x 2 + x - 1

Tranquilo?

E é essa nossa resposta!

Resposta

( 2 x + 1 ) e x 2 + x - 1

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