Determine a derivada das funções abaixo

i )   f x = 1 + 1 + x

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu essa função aqui

f x = 1 + 1 + x

e pediu para determinarmos a derivada dela

mas calma aí! Sabemos algumas derivadas! Por exemplo, a raiz quadrada:

f x = x

A derivada da raiz é

f ' x = 1 2 x

Mas, e a derivada de

1 + 1 + x ?

Aí que tá! O argumento da raiz na derivada que conhecemos é ( x ) apenas, e não ( 1 + 1 + x ) , ou qualquer outra função polinomial, ou até outra função dentro!

Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia

A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta f ( g ( x ) ) , a derivada dessa função é:

f g x ' = f ' g x . g ' ( x )

Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro f ' g x , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro g ' ( x )

E caso tenhamos outra função dentro da função g , por exemplo, uma outra função h ( x ) , é só manter o argumento na derivada de g ' ( h ( x ) ) e multiplicar pela derivada de h ' ( x ) .

É isso, é ir derivando de fora para dentro, mantendo o argumento das de dentro, depois multiplicando pela derivada da função de dentro.

Tranquilo?

Mas calma que vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função que precisa ser derivada é

f x = 1 + 1 + x

a que está mais por fora é a X , e a de dentro é a X = 1 + x , então vamos aplicar a regra da cadeia: derivando a raiz, mantendo o argumento X (eu troquei a expressão de dentro por X para facilitar nossa vida e visualizar que precisamos derivar apenas a função de fora, sem mexer no argumento dela, mas no final é só substituir pela expressão original) depois multiplicamos pela derivada de X !

A derivada de X por sua vez é a derivada de outra função composta, cujo argumento é 1 + x . Então a ideia aqui é aplicar de novo a regra da cadeia!

f ' x = 1 2 X . X ' = 1 2 1 + 1 + x . X '

Agora vamos derivar X = 1 + 1 + x . A função de “fora” é Y , já que 1 é constante e sua derivada é zero. E Y = 1 + x . A derivada de X é:

X ' x = 1 2 Y . Y ' = 1 2 1 + x . 1 = 1 2 1 + x

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos juntar todas as derivadas que calculamos:

f ' x = 1 2 1 + 1 + x . X '

E

X ' = 1 2 1 + x

Aí substituindo X ' ali em cima na f ' ( x ) temos nossa responsa final:

f ' x = 1 2 1 + 1 + x . 1 2 1 + x = 1 4 1 + x 1 + 1 + x

E é essa nossa resposta!

Resposta

1 4 1 + x 1 + 1 + x

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