Determine a derivada das funções abaixo

h )   f x = x + 2 + 6 x 3 + 2 x

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu essa função aqui

f x = x + 2 + 6 x 3 + 2 x

e pediu para determinarmos a derivada dela

mas calma aí! Sabemos algumas derivadas! Por exemplo, a raiz quadrada:

f x = x

A derivada da raiz é

f ' x = 1 2 x

Outro exemplo é essa função aqui

f x = x - 1 = 1 x

Sua derivada é

f ' x = - 1 x 2

Mas, e a derivada de

x + 2 + 6 x 3 + 2 x ?

Aí que tá! O argumento da raiz na derivada que conhecemos é ( x ) apenas, e não ( x + 2 ) , ou qualquer outra função polinomial, ou até outra função dentro!

E tampouco na potência negativa! Ambos os argumentos são simples, são apenas ( x ) .

Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia

A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta f ( g ( x ) ) , a derivada dessa função é:

f g x ' = f ' g x . g ' ( x )

Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro f ' g x , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro g ' ( x )

E caso tenhamos outra função dentro da função g , por exemplo, uma outra função h ( x ) , é só manter o argumento na derivada de g ' ( h ( x ) ) e multiplicar pela derivada de h ' ( x ) .

É isso, é ir derivando de fora para dentro, mantendo o argumento das de dentro, depois multiplicando pela derivada da função de dentro.

Tranquilo?

Mas calma que vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função que precisa ser derivada é

f x = x + 2 + 6 x 3 + 2 x

a que está mais por fora é a X , e a de dentro é a X = x + 2 , então vamos aplicar a regra da cadeia: derivando a raiz, mantendo o argumento X (eu troquei a expressão de dentro por X para facilitar nossa vida e visualizar que precisamos derivar apenas a função de fora, sem mexer no argumento dela, mas no final é só substituir pela expressão original) depois multiplicamos pela derivada de X

para o outro termo, a função de fora é Y - 1 , com Y = x 3 + 2 x . Vamos derivar a de fora, usando aquela regrinha do passo anterior que relembramos juntos, e depois multiplicar pela derivada do argumento.

Não esquece de substituir X e Y pelas expressões correspondentes viu?

f ' x = 1 2 X . X ' - 6 Y 2 . Y ' = 1 2 X . 1 - 6 x 3 + 2 x 2 . 3 x 2 + 2 = 1 2 x + 2 - 18 x 2 + 1 2 x 3 + 2 x 2

f ' x = 1 2 x + 2 - 18 x 2 + 1 2 x 3 + 2 x 2

Tranquilo?

E é essa nossa resposta!

Resposta

1 2 x + 2 - 18 x 2 + 12 x 3 + 2 x 2

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