Determine a derivada das funções abaixo

n )   y = ln ⁡ ( c o s s e c   x + c o t g   x )

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu essa função aqui

y = ln ⁡ ( c o s s e c   x + c o t g   x )

e pediu para determinarmos a derivada dela

mas calma aí! Sabemos algumas derivadas! Por exemplo a derivada da função logarítmica natural:

f x = ln ⁡ x

A derivada do seno é o cosseno

f ' x = 1 x

Mas, e a derivada de

ln ⁡ ( c o s s e c   x + c o t g   x ) ?

Aí que tá! O argumento do logaritmo na derivada que conhecemos é ( x ) apenas, e não ( c o s s e c   x + c o t g   x ) , ou qualquer outra função trigonométrica, ou até outra função dentro!

Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia

A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta f ( g ( x ) ) , a derivada dessa função é:

f g x ' = f ' g x . g ' ( x )

f ' g x , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro g ' ( x )

E caso tenhamos outra função dentro da função g , por exemplo, uma outra função h ( x ) , é só manter o argumento na derivada de g ' ( h ( x ) ) e multiplicar pela derivada de h ' ( x ) .

É isso, é ir derivando de fora para dentro, mantendo o argumento das de dentro, depois multiplicando pela derivada da função de dentro.

Tranquilo?

Mas calma que vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função que precisa ser derivada é

h x = ln ⁡ ( c o s s e c   x + c o t g   x )

a que está mais por fora é a ln ⁡ X , e a de dentro é a X = c o s s e c   x + c o t g   x , então vamos aplicar a regra da cadeia: derivando o logaritmo, mantendo o argumento X (eu troquei a expressão c o s s e c   x + c o t g   x ) por X para facilitar nossa vida e visualizar que precisamos derivar apenas a função de fora, sem mexer no argumento dela, mas no final é só substituir pela expressão original) depois multiplicamos pela derivada de X :

y ' x = ln ⁡ X . X ' = 1 X . - c o s s e c x   c o t g   x - c o s s e c 2 x = 1 c o s s e c   x + c o t g   x . - c o s s e c x   c o t g   x - c o s s e c 2 x

Podemos colocar em evidência - c o s s e c   x no numerador:

y ' x = - c o s s e c   x   ( c o t g   x + c o s s e c   x ) ( c o s s e c   x + c o t g   x )

E simplificar essa expressão! Ficamos assim

y ' = - c o s s e c   x

Tranquilo?

E é essa nossa resposta!

Resposta

y ' = - c o s s e c   x

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