Determine a derivada das funções abaixo

o )   y = s e n 2 t + 5 - 2 3

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu essa função aqui

y = s e n 2 t + 5 - 2 3

E pediu para determinarmos a derivada dela

mas calma aí! Sabemos algumas derivadas! Por exemplo, o seno:

f t = s e n   t

A derivada do seno é

f ' t = cos ⁡ t

Mas, e a derivada de

y = s e n 2 t + 5 - 2 3 ?

Aí que tá! O argumento do seno na derivada que conhecemos é ( t ) apenas, e não 2 t + 5 - 2 3   ou qualquer outra função polinomial, ou até outra função dentro!

Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia

A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta f ( g ( t ) ) , a derivada dessa função é:

f g t ' = f ' g t . g ' ( t )

Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro f ' g t , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro g ' ( t )

E caso tenhamos outra função dentro da função g , por exemplo, uma outra função h ( t ) , é só manter o argumento na derivada de g ' ( h ( t ) ) e multiplicar pela derivada de h ' ( t ) .

e é exatamente o que temos aqui!

O argumento do seno é 2 t + 5 - 2 3 , que “por fora” é uma potência de - 2 / 3 , e “por dentro” um polinômio simples ( 2 t + 5 ) . Então, nesse caso, para sabermos a derivada do seno dessa coisa, a gente precisa derivar mais esse argumento, aplicando de novo a regra da cadeia. Fica assim ó

f g h ( t ) ' = f ' g t . g ' h t . h ' ( t )

É isso, é ir derivando de fora para dentro, mantendo o argumento das de dentro, depois multiplicando pela derivada da função de dentro.

Tranquilo? Não?

Mas calma que vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função que precisa ser derivada é

y = s e n 2 t + 5 - 2 3

A que está mais por fora é a s e n X , e a de dentro é a X = 2 t + 5 - 2 3 , então vamos aplicar a regra da cadeia: derivando o seno, mantendo o argumento X (eu troquei a expressão de dentro por X para facilitar nossa vida e visualizar que precisamos derivar apenas a função de fora, sem mexer no argumento dela, mas no final é só substituir pela expressão original) depois multiplicamos pela derivada de X :

y ' t = c o s   X   .   X ' = c o s   2 t + 5 - 2 3   . X '

Agora precisamos derivar esse X ' !

Passo 3

Nosso X é 2 t + 5 - 2 3 , como comentei contigo lá no passo 1, temos aqui outra função composta. Por fora, temos uma potência de - 2 / 3 , e potência a gente sabe como derivar! Vou colocar como argumento dessa potência Y = 2 t + 5 , para facilitar de novo nossa vida ao ver quem está “por dentro”, quando você se acostumar, pode usar a função e dentro direto, ok?

X = Y - 2 3  

X ' = - 2 3 Y - 2 3 - 1 . Y ' = - 2 3 Y - 5 3 . Y '

Agora nossa missão é encontrar a derivada de Y ! Mas y é um polinômio bem tranquilo, então a derivada dele sai facinho facinho:

Y = 2 t + 5

Y ' = 2

Beleza? Agora é só juntar tudo:

X ' = - 2 3 Y - 5 3 . Y ' = - 2 3 Y - 5 3 . 2 = - 4 3 Y - 5 3

E substituir Y pela expressão dele em t :

X ' = - 4 3 2 t + 5 - 5 3

Tranquilo?

Passo 4

Agora vamos jogar esse X ' lá na expressão para derivada da nossa função, por era esse pedacinho que faltava!

Tínhamos o seguinte:

y ' t = c o s   X   .   X ' = c o s   2 t + 5 - 2 3   . X '

E acabamos de calcular X ' = - 4 3 2 t + 5 - 5 2 , então a expressão para y ' ( t ) fica assim

y ' t = c o s   2 t + 5 - 2 3   . X ' = c o s   2 t + 5 - 2 3   . - 4 3 2 t + 5 - 5 3

y ' t = - 4 3 2 t + 5 - 5 3 cos ⁡ 2 t + 5 - 2 3  

Tranquilo?

E é essa nossa resposta!

Espero ter te ajudado! Até a próxima!

Resposta

y ' t = - 4 3 2 t + 5 - 5 3 cos ⁡ 2 t + 5 - 2 3  

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