Determine a derivada das funções abaixo

m )   y = cos ⁡ ( s e n   x )

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu essa função aqui

y x = cos ⁡ ( s e n   x )

e pediu para determinarmos a derivada dela

mas calma aí! Sabemos algumas derivadas! Por exemplo, o cosseno:

f x = cos ⁡ x

A derivada do cosseno é

f ' x = - s e n ( x )

Mas, e a derivada de

cos ⁡ s e n   x ?

Aí que tá! O argumento do cosseno na derivada que conhecemos é ( x ) apenas, e não ( s e n   x ) , ou qualquer outra função trigonométrica, ou até outra função dentro!

Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia

A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta f ( g ( x ) ) , a derivada dessa função é:

f g x ' = f ' g x . g ' ( x )

Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro f ' g x , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro g ' ( x )

E caso tenhamos outra função dentro da função g , por exemplo, uma outra função h ( x ) , é só manter o argumento na derivada de g ' ( h ( x ) ) e multiplicar pela derivada de h ' ( x ) .

É isso, é ir derivando de fora para dentro, mantendo o argumento das de dentro, depois multiplicando pela derivada da função de dentro.

Tranquilo?

Mas calma que vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função que precisa ser derivada é

y x = cos ⁡ s e n   x

a que está mais por fora é a cos ⁡ X , e a de dentro é a X = s e n   x , então vamos aplicar a regra da cadeia: derivando o cosseno, mantendo o argumento X (eu troquei a expressão de dentro por X para facilitar nossa vida e visualizar que precisamos derivar apenas a função de fora, sem mexer no argumento dela, mas no final é só substituir pela expressão original) depois multiplicamos pela derivada de X :

y ' x = - s e n   X   .   X ' = - s e n   X   . cos ⁡ x = - s e n   ( s e n   x )   .   ( cos ⁡ x )

y ' x = - s e n s e n   x cos ⁡ x

Tranquilo?

E é essa nossa resposta!

Resposta

y ' x = - s e n s e n   x cos ⁡ x

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