Determine a derivada das funções abaixo

p )   f x = cos ⁡ x s e n 4 x

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = cos ⁡ x s e n 4 x

E pediu a derivada!

Assim que você olhar uma função que tem uma divisão e precisa calcular a derivada dela, precisa pensar logo na REGRA DO QUOCIENTE! Ok?

A regra do quociente nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma divisão de duas outras funções.

Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções g h ' :

g ( x ) h ( x ) ' = g ' ( x ) h ( x ) - h ' ( x ) g ( x ) h 2 ( x )

A ideia aqui é identificar quem são essas funções g e h no nosso exercício, calcular a derivada de cada uma delas e jogar os resultados (e as funções) na regra do quociente

Só que tem mais um detalhe! Uma das funções que compõe esse quociente é composta!

Isso mesmo! A derivada da função de baixo precisa ser calculada utilizando a regra da cadeia! Isso porque temos um seno elevado à quarta potência! No argumento da potência temos outra função, isso caracteriza uma função composta! Quando o argumento de uma função (polinomial, trigonométrica, exponencial... pode ser qualquer função que conhecemos!) é outra função, então chamamos essa de composta!

Então primeiro vou calcular as derivadas das funções que compõe e numerador e o denominador, para depois substituir na regra do quociente, beleza?

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte:

f x = cos ⁡ x s e n 4 x

A função do numerador vou chamar de g : g x = cos ⁡ x . E a do denominador de h : h x = s e n 4 x .

Vamos começar derivando a do numerador!

A função que temos é:

g x = cos ⁡ x

Aqui é só aplicar a derivada do cosseno mesmo, aquela da nossa tabela de derivadas fundamentais! Isso porque o argumento dela é só x , então essa aqui não é uma função composta

2 x 3 ali dentro, ao invés de simplesmente um x . Ou também um e x , ou qualquer outra função que a gente conheça. Se fosse esse o caso, precisaríamos aplicar a regra da cadeia, mas isso vamos ver só no próximo passo, relaxa por enquanto!

Retomando nossa derivada!

g x = cos ⁡ x

E dando um bizu na tabela, a derivada do cosseno é:

g ' x = - s e n   x

Beleza?

Passo 3

Agora vamos para a derivada do denominador:

h x = s e n 4 x

A função que “está por fora” é a quarta potência, e ela sabemos derivar se o argumento for apenas y :

y 4 ' = 4 y 3

Só que o argumento da nossa potência não é y , é ( s e n   x ) . E por isso precisamos da regra da cadeia! Chamei o argumento de y para facilitar nossa, vida, mas pode ser qualquer coisa! Outra função trigonométrica, ou um polinômio...

Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia

A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta a ( b ( x ) ) , a derivada dessa função é:

a b x ' = a ' b x . b ' ( x )

Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro a ' b x , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro b ' ( x )

A função de fora é a = b 4 , cuja derivada é a ' = 4 b 3 , e a de dentro é b = s e n   x , cuja derivada é b ' = cos ⁡ x . Então agora é só substituir esses resultados na regra da cadeia:

a b x ' = a ' b x . b ' ( x )

s e n 4 x ' = 4   s e n   x 3 . s e n   x ' = 4 s e n 3 x   . cos ⁡ x

Tranquilo?

Passo 4

Agora com as derivadas na mão, vamos jogar tudo dentro da regra do quociente!

Relembrando, nossa função era:

f x = cos ⁡ x s e n 4 x = g x h x

Aí chamamos de g ( x ) a função do numerador e de h ( x ) a do denominador. As funções e as derivadas são:

g x = cos ⁡ x

g ' x = - s e n   x

E

h x = s e n 4 x

h ' x = 4   s e n 3 x   c o s   x

Agora precisamos aplicar a regra do quociente:

f ' x = g ( x ) h ( x ) ' = g ' ( x ) h ( x ) - h ' ( x ) g ( x ) h 2 ( x )

Substituindo temos:

f ' x = - s e n   x . s e n 4 x - 4   s e n 3 x   c o s   x . cos ⁡ x s e n 4 x 2

Não conseguimos fazer grandes simplificações, mas as multiplicações no numerador e algumas simplificações sim:

f ' x = - s e n 5 x + 4 s e n 3 x cos 2 ⁡ x s e n 8 x

Simplificando por s e n 3 x temos:

f ' x = - s e n 2 x + 4 cos 2 ⁡ x s e n 5 x

E podemos separar 4 cos 2 ⁡ x em 1 cos 2 ⁡ x + 3 cos 2 ⁡ x , para que possamos usar a relação fundamental da trigonometria s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , saca só

f ' x = - s e n 2 x + 1 cos 2 ⁡ x + 3 cos 2 ⁡ x s e n 5 x = - 1 + 3 cos 2 ⁡ x s e n 5 x

E é essa nossa resposta!

Não ficou lá muito bonita, mas o que importa é que está correta! Então te liga no seguinte: aplicar a regra do produto/quociente não te isenta de ter que aplicar a regra da cadeia em alguma parcela viu! Então minha dica é a seguinte: identifica as partes (seja da razão, seja da multiplicação), deriva elas individualmente (aplica a cadeia quando for preciso) e só depois substitui na regra do quociente (ou produto)

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

f ' x = - 1 + 3 cos 2 ⁡ x s e n 5 x

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