C3) Determine a derivada das funções abaixo.

b) F x = 5 x - 8 - 2 x 2 + 3 - 3

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para encontrarmos F ' ( x ) . Mas o que isso significa?

F ' ( x ) é a derivada da função F e, como a função completa está em uma fração (quociente), devemos aplicar a regra do quociente, que nos diz:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Usando essa regra para o nosso enunciado:

f = 5 x - 8 - 2

g = x 2 + 3 - 3

Para encontrarmos f ' e g ' , vemos que as funções estão completamente em uma potência e, para encontrarmos a derivada, precisamos utilizar a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?

A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é h ( j x ) e sua derivada é: h ' j x * j ' ( x ) .

Para f ' :

h = x - 2 e j = 5 x - 8

Então:

f ' = - 2 * 5 x - 8 - 2 - 1 * 5

f ' = - 10 5 x - 8 - 3

Para g ' :

h = x - 3 e j = x 2 + 3

Então:

g ' = - 3 * x 2 + 3 - 3 - 1 * 2 x

g ' = - 6 x x 2 + 3 - 4

Passo 2

Agora que sabemos todos os termos, vamos aplicar a regra:

- 10 5 x - 8 - 3 * x 2 + 3 - 3 - 5 x - 8 - 2 * - 6 x x 2 + 3 - 4 x 2 + 3 - 3 2

- 10 5 x - 8 - 3 * x 2 + 3 - 3 + 6 x 5 x - 8 - 2 * x 2 + 3 - 4 x 2 + 3 - 6

Como temos uma soma, podemos dividir a fração em dois:

6 x 5 x - 8 - 2 * x 2 + 3 - 4 x 2 + 3 - 6 - 10 5 x - 8 - 3 * x 2 + 3 - 3 x 2 + 3 - 6

Como temos o termo ( x 2 + 3 ) do denominador no numerador, podemos realizar a simplificação:

6 x 5 x - 8 - 2 * x 2 + 3 2 - 10 5 x - 8 - 3 * x 2 + 3 3

Como temos duas potências negativas, podemos passar para o denominador:

6 x x 2 + 3 2 5 x - 8 2 - 10 x 2 + 3 3 5 x - 8 3

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

F ' x = 6 x x 2 + 3 2 5 x - 8 2 - 10 x 2 + 3 3 5 x - 8 3

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