C3) Determine a derivada das funções abaixo.

d) f x = x - 2 x + 2 4

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para encontrarmos f ' x , onde:

f x = x - 2 x + 2 4

Mas o que isso significa?

f ' ( x ) é a derivada da função f e, antes de tudo, precisamos reescrever essa função para deixarmos ela mais simples de trabalharmos.

Primeiro, podemos aplicar a raiz no numerador e no denominador:

x - 2 x + 2 4 =   x - 2 4 x + 2 4

Agora, podemos reescrever em forma de potência:

f x =   x - 2 1 4 x + 2 1 4

Podemos perceber que há uma fração (quociente). Portanto, devemos utilizar a regra do quociente para derivação:

m n ' = m ' n - m n ' n 2

Usando essa regra para o nosso enunciado:

m = x - 2 1 / 4

n = x + 2 1 / 4

Passo 2

Para encontrarmos m ' e n ' , vemos que as funções estão completamente em uma potência e, para encontrarmos a derivada, precisamos utilizar a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?

A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é h ( j x ) e sua derivada é: h ' j x * j ' ( x ) .

Para m ' :

h = x 1 4 e j = x - 2

Então:

m ' = 1 4 * ( x - 2 ) 1 4 - 1 * 1

m ' = 1 4   ( x - 2 ) 3 4

Para n ' :

h = x 1 4 e j = x + 2

Então:

n ' = 1 4 * x + 2 1 4 - 1 * 1

n ' = 1 4   x + 2 3 4

Passo 3

Agora que já temos esses resultados, vamos calcular f ' ( x ) . Aplicando a regra do quociente:

f ' x =   1 4   ( x - 2 ) 3 4 * x + 2 1 4 - x - 2 1 4 * 1 4   x + 2 3 4 x + 2 1 4 2

=   x + 2 1 4 4 x - 2 3 4 - x - 2 1 4 4 x + 2 3 4 x + 2 1 2

Como há uma subtração na fração, podemos dividi-la:

f ' x =   x + 2 1 4 4 x - 2 3 4 x + 2 1 2 - x - 2 1 4 4 x + 2 3 4 x + 2 1 2

Simplificando as frações:

=   x + 2 1 4 4 x - 2 3 4 ⋅ x + 2 1 / 2   - x - 2 1 4 4 x + 2 3 4 ⋅ x + 2 1 / 2 =

Reorganizando, temos:

=   x + 2 - 1 4 4 x - 2 3 4   - x - 2 1 4 4 x + 2 5 4

Agora, pra simplificar um pouquinho mais, podemos deixar tudo no mesmo denominador.

=   x + 2 - 1 4 4 x - 2 3 4   ⋅ 4 x + 2 5 4 4 x + 2 5 4   - x - 2 1 4 4 x + 2 5 4 ⋅ 4 x - 2 3 4 4 x - 2 3 4

Como está tudo no mesmo denominador, podemos juntar as frações:

f ' ( x ) = x + 2 - x - 2 4 x - 2 3 4 x + 2 5 4  

=   4 4 x - 2 3 4 x + 2 5 4

Portanto, pra finalizar de vez, temos:

x - 2 x + 2 4 ' =   1 x - 2 3 4 x + 2 5 4

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

f ' x = 1 x - 2 3 4 x + 2 5 4

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