C3) Determine a derivada das funções abaixo.

e) y = x 4 + e x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para encontrarmos y ' . Mas o que isso significa?

y ' é a derivada da função y e, antes de tudo, precisamos reescrever essa função para deixarmos ela mais simples de trabalharmos.

Primeiro, podemos reescrever a função em forma de potência:

reescrever em forma de potência:

y = x 4 + e x 1 / 2

Para encontrarmos y ' , vemos que a função está completamente em uma potência e, para encontrarmos a derivada, precisamos utilizar a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?

A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é h ( j x ) e sua derivada é: h ' j x * j ' ( x ) .

No nosso caso:

h x = x 1 2

j x = x 4 + e x

Passo 2

A partir de agora, aplicaremos a regra da cadeia:

1 2 * x 4 + e x 1 2 - 1 * d d x x 4 + d d x e x

1 2 x 4 + e x - 1 2 * 4 x 3 + d d x e x

Nesse passo você já deve ter percebido que temos outra derivada para calcularmos pela regra da cadeia. Isso mesmo, em e x .

Então vamos calcular!

Para essa função:

h x = e x

j x = x 1 2

Aplicando a regra:

e x 1 2 * 1 2 x 1 2 - 1

e x 1 2   * 1 2 x - 1 2

Podemos reescrever como:

e x 2 x

Passo 3

Nesse passo vamos juntar tudo que calculamos até agora:

1 2 x 4 + e x - 1 2 * 4 x 3 + e x 2 x

Isso pode ser simplificado como:

1 2 x 4 + e x * 4 x 3 + e x 2 x

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

y ' = 1 2 x 4 + e x * 4 x 3 + e x 2 x

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