C3) Determine a derivada das funções abaixo.

f) f x = e 2 x ln ⁡ x   sin ⁡ x + e - x x 5 + 1

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para encontrarmos f ' ( x ) . Mas o que isso significa?

f ' ( x ) é a derivada da função f ( x ) e, como a função completa possui uma multiplicação, devemos aplicar a regra do produto, que nos diz:

f * g ' = f * g ' + f ' * g

Usando essa regra no nosso enunciado:

f = e 2 x

g = ln ⁡ x   sin ⁡ x + e - x x 5 + 1

Para encontrarmos f ' e g ' , vemos ambas as funções são compostas e, portanto, para encontrarmos a derivada, precisamos utilizar a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?

A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é h ( j x ) e sua derivada é: h ' j x * j ' ( x ) .

Passo 2

Para f ' :

h x = e x

j x = 2 x

Aplicando a regra:

e 2 x * 2 = 2 e 2 x

Para g ' :

h x = ln ⁡ x

g x = x sin ⁡ x + e - x x 5 + 1

Então:

Perceba que x sin ⁡ x também deve ser calculada pela regra do produto:

1 * sin ⁡ x + x * cos ⁡ x

Simplificando:

sin ⁡ x + x cos ⁡ x

Agora, perceba que e - x x 5 + 1 está em uma fração, então devemos aplicar a regra do quociente, que nos diz:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Usando essa regra para o nosso enunciado:

f = e - x

g = x 5 + 1

Para encontrarmos f ' , devemos aplicar a regra da cadeira, onde:

h x = e x

j x = - x

Então:

e - x * - 1 = - e - x

Para encontrarmos g ' , podemos realizar a derivada diretamente:

5 x 4

Aplicando a regra do quociente:

- e - x * x 5 + 1 - e - x * 5 x 4 x 5 + 1 2

Juntando com o restante calculado:

sin ⁡ x + x cos ⁡ x + - e - x * x 5 + 1 - e - x * 5 x 4 x 5 + 1 2

Simplificando:

sin ⁡ x + x cos ⁡ x + e - x ( - x 5 - 5 x 4 - 1 ) x 5 + 1 2

Passo 3

Como descobrimos todos os termos necessários para a nossa regra do produto original, vamos calcular!

e 2 x * sin ⁡ x + x cos ⁡ x + e - x - x 5 - 5 x 4 - 1 x 5 + 1 2 + ln ⁡ x   sin ⁡ x + e - x x 5 + 1 * 2 e 2 x

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

f ' ( x ) = e 2 x * sin ⁡ x + x cos ⁡ x + e - x - x 5 - 5 x 4 - 1 x 5 + 1 2 + ln ⁡ x   sin ⁡ x + e - x x 5 + 1 * 2 e 2 x

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