C3) Determine a derivada das funções abaixo.

h) f ( t ) = t e 2 sin ⁡ t ln ⁡ ( 3 t + 1 )

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para encontrarmos f ' ( t ) . Mas o que isso significa?

f ' ( t ) é a derivada da função f ( t ) e, como a função completa está em uma fração (quociente), devemos aplicar a regra do quociente, que nos diz:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Usando essa regra para o nosso enunciado:

f = t e 2 sin ⁡ t

g = ln ⁡ ( 3 t + 1 )

Agora precisamos encontrar f ' e g ' para aplicarmos à regra do quociente.

Passo 2

Para f ' :

Como há o produto entre duas funções de t , precisamos aplicar a regra do produto. Mas o que isso significa?

A regra do produto nos diz que:

h * j ' = h * j ' + h ' * j

Usando essa regra no nosso enunciado:

h = t

j = e 2 sin ⁡ t

Para aplicarmos a regra do produto, também precisaremos encontrar h ' e j ' .

Então, para h ' :

Essa é uma derivada direta, e é 1 .

Para j ' :

Aqui teremos a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?

A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é k ( l x ) e sua derivada é: k ' l x * l ' ( x ) .

No nosso exemplo:

k = e t

l = 2 sin ⁡ t

Portanto:

e 2 sin ⁡ t * 2 cos ⁡ t

Aplicando a regra do produto:

t * 2 cos ⁡ t e 2 sin ⁡ t + e 2 sin ⁡ t * 1

Simplificando:

e 2 sin ⁡ t ( 2 t cos ⁡ t + 1 )

Passo 3

Para g ' :

Aqui teremos a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?

A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é k ( l x ) e sua derivada é: k ' l x * l ' ( x ) .

No nosso caso:

k = ln ⁡ t

l = 3 t + 1

Aplicando a regra:

1 3 t + 1 * d d t 3 t + 1

1 3 t + 1 * 3 = 3 3 t + 1

Passo 4

Legal! Agora que conhecemos f ' e g ' , podemos calcular a regra do quociente inicial:

e 2 sin ⁡ t 2 t cos ⁡ t + 1 * ln ⁡ 3 t + 1 - t e 2 sin ⁡ t   * 3 3 t + 1 ln ⁡ 3 t + 1 2

Vamos dividir essa fração em duas:

e 2 sin ⁡ t 2 t cos ⁡ t + 1 * ln ⁡ 3 t + 1 ln ⁡ 3 t + 1 2 - t e 2 sin ⁡ t   * 3 3 t + 1 ln ⁡ 3 t + 1 2

Simplificando:

e 2 sin ⁡ t 2 t cos ⁡ t + 1 ln ⁡ ( 3 t + 1 ) - 3 t e 2 sin ⁡ t ln ⁡ 3 t + 1 2 ( 3 t + 1 )

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

f ' ( t ) = e 2 sin ⁡ t 2 t cos ⁡ t + 1 ln ⁡ ( 3 t + 1 ) - 3 t e 2 sin ⁡ t ln ⁡ 3 t + 1 2 ( 3 t + 1 )

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