C3) Determine a derivada das funções abaixo.

i) g ( x ) = 7 x 2 + 6 x 7 3 x - 1 4

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para encontrarmos g ' ( x ) . Mas o que isso significa?

g ' ( x ) é a derivada da função g ( x ) e, como a função completa está em uma multiplicação (produto), devemos aplicar a regra do produto, que nos diz:

f * g ' = f * g ' + f ' * g

Usando essa regra no nosso enunciado:

f = 7 x 2 + 6 x 7

g = 3 x - 1 4

Precisamos, então, encontrar f ' e g ' para aplicarmos à regra.

Passo 2

Para f ' :

Como a função inteira está em uma potência, precisamos usar a regra da cadeia para desenvolvermos o cálculo. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?

A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é h ( j x ) e sua derivada é: h ' j x * j ' ( x ) .

No nosso exemplo:

h = x 7

j = 7 x 2 + 6 x

Aplicando a regra:

7 * 7 x 2 + 6 x 7 - 1 * ( 14 x + 6 )

7 7 x 2 + 6 x 6 14 x + 6

7 x 2 + 6 x 6 ( 98 x + 42 )

Passo 3

Para g ' :

Da mesma forma que em f ' , utilizaremos a regra da cadeia.

Nesse caso:

h = x 4

j = 3 x - 1

Aplicando a regra:

4 * 3 x - 1 4 - 1 * 3

12 3 x - 1 3

Passo 4

Legal! Agora que conhecemos f ' e g ' , podemos calcular a regra do produto inicial:

7 x 2 + 6 x 6 98 x + 42 * 3 x - 1 4 + 7 x 2 + 6 x 7 * 12 3 x - 1 3

Colocando 7 x 2 + 6 x 6 3 x - 1 3 em evidência:

7 x 2 + 6 x 6 3 x - 1 3 3 x - 1 * 98 x + 42 + 12 * 7 x 2 + 6 x

Simplificando os produtos:

7 x 2 + 6 x 6 3 x - 1 3 [ 294 x 2 + 126 x - 98 x - 42 + 84 x 2 + 72 x ]

7 x 2 + 6 x 6 3 x - 1 3 ( 378 x 2 + 100 x - 42 )

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

g ' ( t ) = 7 x 2 + 6 x 6 3 x - 1 3 ( 378 x 2 + 100 x - 42 )

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