Determine a derivada (em relação a x ) de x arcsin ⁡ x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada de x arcsin ⁡ x em relação a x . Pra isso, vamos usar algumas propriedades de expoentes e aplicar a Regra da Cadeia na derivação.

Relembrando: a Regra da Cadeia nos diz que a derivada de uma função composta f x = g ( h x ) , vai ser o produto entre a derivada da função de dentro, h ' ( x ) , pela derivada da função de fora aplicada na de dentro. Ou seja:

f ' x = g h x ' = h ' x g ' ( h x )

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar começar definindo x = e ln ⁡ x . Isso é verdade por e a função inversa do ln, então elas acabam se cancelando e dando x , beleza? Assim, se a gente multiplicar o expoente dos dois lados por arcsin ⁡ x , vamos ter:

x arcsin ⁡ x = e ln ⁡ x arcsin ⁡ x

Agora vamos derivar usando a Regra da Cadeia:

d d x ( x arcsin ⁡ x ) = d d x ( e ln ⁡ x arcsin ⁡ x )

Lembra que precisamos calcular a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro. Então:

d d x ( e ln ⁡ x arcsin ⁡ x ) = e ln ⁡ x arcsin ⁡ x d d x ln ⁡ x arcsin ⁡ x

Pra d d x ln ⁡ x arcsin ⁡ x , vamos usar a regra do produto na derivação (derivada do primeiro termo vezes o segundo mais derivada do segundo termo vezes o primeiro):

d d x ln ⁡ x arcsin ⁡ x = ln ⁡ x 1 - x 2 + arcsin ⁡ x x

Assim, juntando tudo, temos:

d d x ( x ln ⁡ x arcsin ⁡ x ) = e ln ⁡ x arcsin ⁡ x ln ⁡ x 1 - x 2 + arcsin ⁡ x x

Mas como a gente definiu lá em cima x arcsin ⁡ x = e ln ⁡ x arcsin ⁡ x , então:

d d x x arcsin ⁡ x = x arcsin ⁡ x ln ⁡ x 1 - x 2 + arcsin ⁡ x x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x arcsin ⁡ x ln ⁡ x 1 - x 2 + arcsin ⁡ x x

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