Determine as derivadas, até segunda ordem, das funções abaixo:

e )   f ( x ) = x x - 3 f )   f ( x ) = ( 1 - x ) x

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos dá duas funções

e )   f ( x ) = x x - 3 f )   f ( x ) = ( 1 - x ) x

precisamos calcular a primeira e segunda derivada de cada uma delas! Para isso vamos utilizar regras básicas como a regra do tombo, a regra do produto e a regra da cadeia, assim como derivadas conhecidas! Belezinha? Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada de

  f ( x ) = x x - 3

aqui temos uma função que é razão de duas outras da forma f ( x ) = g ( x ) / h ( x ) , portanto, vamos utilizar a regra do quociente da forma

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) - g ( x ) d d x [ h ( x ) ] [ h ( x ) ] 2

usando que g ( x ) = x e que h ( x ) = x - 3 , temos

d d x [ x x - 3 ] = d d x [ x ] ( x - 3 ) - x d d x [ x - 3 ] [ x - 3 ] 2

Essas derivadas podem ser obtidas usando a regra do tombo como

d d x [ x ] = ( 1 ) x 1 - 1 = 1

e, também que

d d x [ x - 3 ] = d d x [ x ] - d d x [ 3 ] = 1

pois a derivada de constantes é sempre zero! Temos então que

d d x [ x x - 3 ] = ( 1 ) ( x - 3 ) - x ( 1 ) [ x - 3 ] 2 = 3 ( x - 3 ) 2

Precisamos agora calcular a segunda derivada! Vamos lá!

Passo 3

Precisamos calcular a derivada do resultado que obtivemos no último passo, ou seja

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = d d x [ 3 ( x - 3 ) 2 ]

por simplicidade, vamos usar que

3 ( x - 3 ) 2 = 3 ( x - 3 ) - 2

pois assim, ao invés de usarmos a regra do quociente e da cadeia, vamos apenas utilizar a regra da cadeia! Se queremos derivar uma função composta da forma g ( x ) = h ( i ( x ) ) , usamos a regra da cadeia como

d d x [ g ( x ) ] = d d i [ h ( i ) ] d d x [ i ( x ) ]

em nosso caso temos que h ( i ) = i - 2 e que i ( x ) = x - 3 , portanto, a nossa derivada se torna

d d x [ ( x - 3 ) - 2 ] = d d i [ i - 2 ] d d x [ x - 3 ] = [ ( - 2 ) x - 2 - 1 ] [ 1 - 0 ]

em que usei a regra do tombo! Simplificando, temos que

d d x [ ( x - 3 ) - 2 ] = - 2 x 3

ou seja, a nossa derivada de segunda ordem é

d 2 f ( x ) d x 2 = - 6 x 3

Vamos para a segunda alternativa agora! Vem comigo!

Passo 4

Temos que calcular agora a derivada da função

f ( x ) = ( 1 - x ) x

temos aqui o produto de duas funções da forma f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , para resolvermos essa derivada iremos usar a regra do produto

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

usando que g ( x ) = 1 - x e h = x , temos que

d d x [ ( 1 - x ) x ] = d d x [ 1 - x ] x + ( 1 - x ) d d x [ x ]

se usarmos agora que x = x 1 / 2 , podemos aplicar a regra do tombo

d d x [ ( 1 - x ) x ] = ( 0 - 1 x 1 - 1 ) x + ( 1 - x ) ( 1 2 x 1 / 2 - 1 ) = - x + 1 2 x 1 / 2 ( 1 - x )

Podemos juntar alguns termos para obter

d d x [ f ( x ) ] = - 3 2 x + 1 2 x = 3 x 2 [ 1 6 x - 1 ]

Vamos agora calcular a derivada de segunda ordem! Vem comigo!

Passo 5

Temos que calcular a derivada do resultado que obtivemos anteriormente, temos que

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = d d x [ 3 x 2 [ 1 6 x - 1 ] ] = 3 2 d d x [ x ] [ 1 6 x - 1 ] + 3 2 x d d x [ 1 6 x - 1 ]

em que usei a regra do produto! Nós já calculamos antes que

d d x [ x ] = 1 2 x

Agora, precisamos de

d d x [ 1 6 x - 1 ] = 1 6 d d x [ 1 x ] - d d x [ 1 ]

como temos que 1 x = x - 1 , pela regra do tombo, obtemos

d d x [ 1 6 x - 1 ] = 1 6 d d x [ ( - 1 ) x - 1 - 1 ] - 0 = - 1 6 x 2

Finalmente, a nossa derivada de segunda ordem é

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = d d x [ 3 x 2 [ 1 6 x - 1 ] ] = 3 4 x [ 1 6 x - 1 ] - 1 4 x x 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

e ) d d x [ f ( x ) ] = 3 ( x - 3 ) 2 e d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = - 6 x 3

f ) d d x [ f ( x ) ] = 3 x 2 [ 1 6 x - 1 ] e d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 3 4 x [ 1 6 x - 1 ] - 1 4 x x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))
Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x