Determine as derivadas, até segunda ordem, das funções abaixo:

a )   f ( x ) = ( x + 7 ) ( x - 3 ) b ) f ( x ) = x   s e n ( x )

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos dá duas funções

a )   f ( x ) = ( x + 7 ) ( x - 3 ) b ) f ( x ) = x   s e n ( x )

precisamos calcular a primeira e segunda derivada de cada uma delas! Para isso vamos utilizar regras básicas como a regra do tombo e do produto, assim como derivadas conhecidas! Belezinha? Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada de

f ( x ) = ( x + 7 ) ( x - 3 )

temos que a função acima é definida tal que f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , em que g ( x ) = x + 7 e h ( x ) = x - 3 , portanto, precisamos usar a regra do produto da forma

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

Temos que

d d x [ x + 7 ] = d d x [ x ] + d d x [ 7 ] = 1

em que usei a regra do tombo, e usei que a derivada de toda constante é zero! Da mesma forma, temos que

d d x [ x - 3 ] = d d x [ x ] - d d x [ 3 ] = 1

A primeira derivada se torna então

d d x [ f ( x ) ] = ( 1 ) h ( x ) + g ( x ) ( 1 ) = ( x - 3 ) + ( x + 7 )

Ou, simplificando, temos que

d d x [ f ( x ) ] = 2 x + 4 = 2 ( x + 2 )

Beleza! Vamos para a segunda agora!

Passo 3

A segunda derivada é bastante simples! Usando o resultado que acabamos de obter temos que

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = d d x [ d d x [ f ( x ) ] ] = d d x [ 2 ( x - 2 ) ]

que é o mesmo que

d d x [ 2 ( x - 2 ) ] = 2 d d x [ x ] - 2 d d x [ 2 ] = 2 ( 1 ) - 2 ( 0 )

ou, simplesmente

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 2

Beleza! A primeira alternativa acabou! Vamos para a outra agora!

Passo 4

Temos agora a função

f ( x ) = x   s e n ( x )

temos que a função acima é definida tal que f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , em que g ( x ) = x e h ( x ) = s e n ( x ) , portanto, precisamos usar a regra do produto da forma

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

Temos que

d d x [ x ] = 1

em que usei a regra do tombo! Temos também a derivada conhecida

d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

A primeira derivada se torna então

d d x [ f ( x ) ] = ( 1 ) h ( x ) + g ( x ) c o s ( x ) = s e n ( x ) + x   c o s ( x )

Beleza! Vamos para a segunda agora!

Passo 5

Novamente usando o resultado que acabamos de obter

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = d d x [ d d x [ f ( x ) ] ] = d d x [ s e n ( x ) + x   c o s ( x ) ]

que é o mesmo que

d d x [ s e n ( x ) + x   c o s ( x ) ] = d d x [ s e n ( x ) ] - d d x [ x   c o s ( x ) ]

usando a derivada do seno que apresentamos nos passos anteriores, e novamente a regra do produto, temos que

d d x [ s e n ( x ) ] - d d x [ x   c o s ( x ) ] = c o s ( x ) - [ d d x [ x ] c o s ( x ) + x d d x [ c o s ( x ) ] ]

nós também calculamos a derivada de x anteriormente, e usando a derivada conhecida

d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x )

temos que

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = c o s ( x ) - [ ( 1 ) c o s ( x ) + x ( - s e n ( x ) ) ] = x   s e n ( x )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a ) d d x [ f ( x ) ] = 2 ( x + 2 ) e d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 2

b ) d d x [ f ( x ) ] = s e n ( x ) + x   c o s ( x ) e d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = x   s e n ( x )

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