Determine as derivadas das funções

y   = ( x ² + 1 ) 20 ( x ³ - 2 x ) - 11

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada de

y   = ( x ² + 1 ) 20 ( x ³ - 2 x ) - 11

Vamos que essa é grandinha

Vamos relembrar algumas regras de derivação:

A regra da razão, que diz que

d d x f ( x ) / g ( x ) = ( f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) ) / g ² ( x )

A regra da cadeia, que diz que

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

A regra do produto, que diz que

d d x f ( x ) * g ( x ) = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

A regra do polinômio, que diz que

d d x x n = n x n - 1

Passo 2

Vamos calcular a derivada de

y   = ( x ² + 1 ) 20 ( x ³ - 2 x ) - 11

Para isso, vamos utilizar a regra do produto a da cadeia e a regra do polinômio. Vamos começar com a regra do produto, temos que

y '   =   d d x ( x ² + 1 ) 20 * ( x ³ - 2 x ) - 11 + ( x ² + 1 ) 20 * d d x ( x ³ - 2 x ) - 11

Agora, precisamos usar a regra da cadeia para calcular as derivadas. Começando com

d d x ( x ² + 1 ) 20

Note que essa função é da forma

f ( g ( x ) )

Onde

f ( x ) = x 20

e

g ( x ) = x ² + 1

Então, pela regra da cadeia temos

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

d d x ( x ² + 1 ) 20 = 20 ( x ² + 1 ) 19 * 2 x

E temos queremos

d d x ( x ³ - 2 x ) - 11

e que essa função é da forma

f ( g ( x ) )

Onde

f ( x ) = x - 11

e

g ( x ) = x ³ - 2 x

Então, pela regra da cadeia temos

d d x ( x ³ - 2 x ) - 11 = - 11 ( x ³ - 2 x ) - 12 * ( 3 x - 2 )

Logo

y '   =   20 ( x ² + 1 ) 19 * 2 x * ( x ³ - 2 x ) - 11 + ( x ² + 1 ) 20 * - 11 ( x ³ - 2 x ) - 12 * ( 3 x - 2 )

=   40 ( x ² + 1 ) 19 ( x ³ - 2 x ) - 11 x - 11 ( x ² + 1 ) 20 ( x ³ - 2 x ) - 12 ( 3 x - 2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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