Determine as derivadas das funções

y   =   x ² e x ² + 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada de

y   =   x ² e x ² + 1

Vamos relembrar algumas regras de derivação:

A regra da razão, que diz que

d d x f ( x ) / g ( x ) = ( f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) ) / g ² ( x )

A regra da cadeia, que diz que

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

A regra do produto, que diz que

d d x f ( x ) * g ( x ) = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

A regra do polinômio, que diz que

d d x x n = n x n - 1

Passo 2

Vamos calcular a derivada de

y   =   x ² e x ² + 1

Para isso, vamos utilizar a regra do produto a da cadeia e a regra do polinômio. Vamos começar com a regra do produto, temos que

y '   =   2 x e x ² + 1 + x ² d d x e x ² + 1

Agora, precisamos usar a regra da cadeia para calcular

d d x e x ² + 1

Note que essa função é da forma

f ( g ( x ) )

Onde

f ( x ) = e x

e

g ( x ) = x ² + 1

Então, pela regra da cadeia temos

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

d d x e x ² + 1 = e x ² + 1 * d d x x ² + 1

= e x ² + 1 * 2 x

Logo

y ' = 2 x e x ² + 1 + x ² e x ² + 1 * 2 x

= 2 x e x ² + 1 ( 1 + x ² )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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