Determine as derivadas das funções

f   ( x )   =   s e n   ( a x   )   e   g   ( x )   =   [ s e n   ( a x   ) ] n

em que a é uma constante real e n um natural maior do que 1 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada das funções

f   ( x )   =   s e n   ( a x   )   e   g   ( x )   =   [ s e n   ( a x   ) ] n

Vamos relembrar algumas regras de derivação:

A regra da razão, que diz que

d d x f ( x ) / g ( x ) = ( f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) ) / g ² ( x )

A regra da cadeia, que diz que

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

A regra do produto, que diz que

d d x f ( x ) * g ( x ) = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

A regra do polinômio, que diz que

d d x x n = n x n - 1

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de

s e n   ( a x   )  

Usando a regra da cadeia, temos:

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

no nosso caso,

f ( x ) = s i n ( x )  

e

g ( x ) = a x

Logo,

d d x s e n   ( a x   ) = c o s ( a x ) a  

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de

  [ s e n   ( a x   ) ] n

Usando a regra da cadeia, temos:

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

no nosso caso,

f ( x ) = x n  

e

g ( x ) = s i n ( a x )

Logo, pela regra do polinômio, a derivada fica

n ( s i n ( a x ) ) n - 1 * d d x s i n ( a x )

Mas já calculamos d d x s e n   ( a x   ) . Então,

  d d x [ s e n   ( a x   ) ] n = n ( s i n ( a x ) ) n - 1 ( c o s ( a x ) a )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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