2. Determine as seguintes derivadas.

b) f x = 3 x - sin 2 ⁡ 4 x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema apenas foi solicitado para calcularmos a derivada da função f x = 3 x - sin 2 ⁡ 4 x .

Parece dificil? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função para sabermos qual método podemos aplicar para obter sua derivada...

Podemos perceber que f x é uma função composta, então a melhor maneira de calcular sua derivada é a partir da regra da cadeia.

Ao derivar uma função composta aplicando a regra da cadeia, primeiro temos que calcular a derivada da função de dentro e multiplicar pela deriva da função de fora, ou seja

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Bora ver como é isso na prática? 😬

Passo 2

A função que vamos derivar é dada por f x = 3 x - sin 2 ⁡ 4 x .

Fazendo uma análise, vemos que a função interna é dada por h x = 3 x - sin 2 ⁡ 4 x e a função externa por g h x = h x .

Calculando a derivada da função interna pelo método de derivação polinomial, temos

h ' x = d 3 x - sin 2 ⁡ 4 x d x = d 3 x d x - d sin 2 ⁡ 4 x d x

Perceba que na derivada de sin 2 ⁡ 4 x temos outra função composta, portanto temos que aplicar a regra da cadeia novamente.

h ' x = d 3 x d x - d sin ⁡ 4 x d x · d p x 2 d p x

E mais uma vez em sin ⁡ 4 x temos outra função composta

h ' x = d 3 x d x - d 4 x d x · d sin ⁡ q x d q x · d p x 2 d p x

Podemos substituir p x e q x cada uma por uma variável qualquer para facilitar o entendimento do que estamos fazendo...

h ' x = d 3 x d x - d 4 x d x · d sin ⁡ u d u · d v 2 d v

h ' x = 3 - 4 · cos ⁡ u · 2 v

h ' x = 3 - 8 cos ⁡ u v

Voltando u para q x e v para p x

h ' x = 3 - 8 cos ⁡ q x p x

Mas como q x = 4 x e p x = sin ⁡ 4 x , temos

h ' x = 3 - 8 cos ⁡ 4 x sin ⁡ 4 x

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora derivando a função externa em relação a função interna...

g ' h x = d h x d h x

Novamente podemos substituir h x por uma variável qualquer para facilitar o entendimento do que estamos fazendo...

g ' v = d v d v = 1 2 v

Voltando v para h x , temos

g ' h x = 1 2 h x

E como h x = 3 x - sin 2 ⁡ 4 x

g ' h x = 1 2 3 x - sin 2 ⁡ 4 x

Aplicando a regra da cadeia em f x

f ' x = h ' x · g ' h x

f ' x = 3 - 8 cos ⁡ 4 x sin ⁡ 4 x · 1 2 3 x - sin 2 ⁡ 4 x

f ' x = 3 - 8 cos ⁡ 4 x sin ⁡ 4 x 2 3 x - sin 2 ⁡ 4 x

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = 3 - 8 cos ⁡ 4 x sin ⁡ 4 x 2 3 x - sin 2 ⁡ 4 x

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