Encontre d y d x e d 2 y d x 2 das curvas abaixo:

(a) x t = t + sin ⁡ t e y t = t - cos ⁡ t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar as derivadas d y d x e d 2 y d x 2 da curva parametrizada x t = t + sin ⁡ t e y t = t - cos ⁡ t .

Bom, a regra da Cadeia nos diz que d y d t = d y d x ∙ d y d t . Se d x d t ≠ 0 , podemos isolar d y d x assim:

d y d x = d y / d t d x / d t  

Essa equação nos permite calcular a inclinação d y / d x da tangente para uma curva paramétrica sem ter que eliminar o parâmetro t . Para encontrar a derivada segunda ( d 2 y d x 2 ), mudamos y por d y / d x na equação acima e encontramos:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Vamos calcular as duas derivadas que a questão pede através dessas equações. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de y em relação a t :

d y d t = d d t t - cos ⁡ t

d y d t = 1 + sin ⁡ ( t )

Agora calculamos a derivada de x em relação a t :

d x d t = d d t ( t + sin ⁡ t )

d x d t = 1 + cos ⁡ ( t )

Juntando tudo na expressão d y d x = d y / d t d x / d t   , temos:

d y d x = 1 + sin ⁡ ( t ) 1 + cos ⁡ ( t )

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada segunda d 2 y d x 2 . Primeiro, a derivada de d y d x em relação a t :

d d t d y d x = d d t 1 + sin ⁡ ( t ) 1 + cos ⁡ ( t )

Usando a regra de derivação do quociente, temos:

d d t d y d x = cos ⁡ t 1 + cos ⁡ t + sin ⁡ t ( 1 + sin ⁡ t ) 1 + cos ⁡ t 2

Aplicando a distributiva e usando a identidade cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 , obtemos:

d d t d y d x = cos ⁡ t + cos 2 ⁡ ( t ) + sin ⁡ t + sin 2 ⁡ t 1 + cos ⁡ t 2

d d t d y d x = cos ⁡ t + sin ⁡ t 1 + cos ⁡ t 2

Agora calculando d x d t para x t = t + sin ⁡ t , temos:

d x d t = 1 + c o s ⁡ ( t )

Juntando tudo na expressão da derivada segunda, temos:

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t

d 2 y d x 2 = cos ⁡ t + sin ⁡ t 1 + cos ⁡ t 2 1 + c o s ⁡ ( t )

Fazendo a divisão de frações:

d 2 y d x 2 = cos ⁡ t + sin ⁡ t 1 + cos ⁡ t 3

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d y d x = 1 + sin ⁡ ( t ) 1 + cos ⁡ ( t )

d 2 y d x 2 = cos ⁡ t + sin ⁡ t 1 + cos ⁡ t 3

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