Encontre d y d x e d 2 y d x 2 das curvas abaixo:

(a) x t = 1 + t 2 e y t = t - t 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar as derivadas d y d x e d 2 y d x 2 da curva parametrizada x t = 1 + t 2 e y t = t - t 3 .

Bom, a regra da Cadeia nos diz que d y d t = d y d x ∙ d y d t . Se d x d t ≠ 0 , podemos isolar d y d x assim:

d y d x = d y / d t d x / d t  

Essa equação nos permite calcular a inclinação d y / d x da tangente para uma curva paramétrica sem ter que eliminar o parâmetro t . Para encontrar a derivada segunda ( d 2 y d x 2 ), mudamos y por d y / d x na equação acima e encontramos:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Vamos calcular as duas derivadas que a questão pede através dessas equações. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de y em relação a t :

d y d t = d d t t - t 3

d y d t = 1 - 3 t 2

Agora calculamos a derivada de x em relação a t :

d x d t = d d t ( 1 + t 2 )

d x d t = 2 t

Juntando tudo na expressão d y d x = d y / d t d x / d t   , temos:

d y d x = 1 - 3 t 2 2 t

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada segunda d 2 y d x 2 . Primeiro, fazendo a derivada de d y d x em relação a t :

d d t d y d x = d d t 1 - 3 t 2 2 t

Usando a regra de derivação do quociente, temos:

d d t d y d x = - 6 t 2 t - 2 ( 1 - 3 t 2 ) 2 t 2

Aplicando a distributiva, obtemos:

d d t d y d x = - 12 t 2 - 2 + 6 t 2 4 t 2

d d t d y d x = - 6 t 2 - 2 4 t 2

Agora calculando d x d t para x t = 1 + t 2 , temos:

d x d t = 2 t

Juntando tudo na expressão da derivada segunda:

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t

d 2 y d x 2 = - 6 t 2 - 2 4 t 2 2 t

Fazendo a divisão de frações e simplificando:

d 2 y d x 2 = - 6 t 2 - 2 8 t 3 = - 3 t 2 - 1 4 t 3

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d y d x = 1 - 3 t 2 2 t

d 2 y d x 2 = - 3 t 2 - 1 4 t 3

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