5. Encontre a derivada das seguintes funções:

a) f x = s e n x 3

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função f x mas como essa função não é simplesmente um polinômio, vamos ter que aplicar algum método para nos auxiliar nessa tarefa.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Nesse caso, temos uma função composta, então a melhor maneira de calcular essa derivada é através da regra da cadeia.

Dada uma função f x = g h x , a derivada f ' x é dada por

f ' x = h ' x · g ' h x

A derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Se f x = s e n x 3 , então h x = x 3 e g h x = s e n h x

Aplicando a regra da cadeia, temos

f ' x = d x 3 d x · d s e n h x d h x

Para facilitar o nosso entendimento, podemos substituir h x por uma variável u na segunda derivada

f ' x = d x 3 d x · d s e n u d u

Pelo método de derivação polinomial, temos que

d x 3 d x = 3 x 2

Já pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de s e n u é

d s e n u d u = cos ⁡ u

Substituindo em f ' x

f ' x = 3 x 2 · cos ⁡ u

Substituindo u por h x , temos

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x 3

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