5. Encontre a derivada das seguintes funções:

e) c h x = e x + e - x 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função c h x mas como essa função não é simplesmente um polinômio, vamos ter que aplicar algum método para nos auxiliar nessa tarefa.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Nesse caso, temos um termo que é uma função composta, então a melhor maneira de calcular essa derivada é através da regra da cadeia.

Dada uma função f x = h g x , a derivada f ' x é dada por

f ' x = g ' x · h ' g x

A derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

A função é c h x = e x + e - x 2 então c h ' x será

c h ' x = d e x + e - x 2 d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos que

c h ' x = d e x 2 d x + d e - x 2 d x

A derivada de e x 2 é dado pelo teorema fundamental do cálculo

d e x 2 d x = e x 2

Já a derivada de e - x 2 temos que aplicar a regra da cadeia.

Se f x = e - x 2 , então g x = - x e h g x = e g x 2

Aplicando a regra, temos

f ' x = d - x d x · d e g x 2 d g x

Substituindo g x por uma variável qualquer na segunda variável, temos que

f ' x = d - x d x · d e u 2 d u

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de - x é

d - x d x = - 1

E já vimos que

d e u 2 d u = e u 2

Substituindo u por g x de volta e aplicando os resultados em c h ' x

f ' x = - e - x 2

c h ' x = e x 2 + - e - x 2

c h ' x = e x - e - x 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

c h ' x = e x - e - x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))
Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x