5. Encontre a derivada das seguintes funções:

h) k x = 1 + s e n x 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função k x = 1 + s e n x 2 .

E aí, parece tranquilo? 🤔

Se analisarmos a equação, vamos ver que se trata de uma função composta.

Nesses casos, para calcular a derivada de uma função composta, aplicamos a regra da cadeia!

A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta f = g h x é dada pela derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa

f ' = h ' · g '

Entendeu? Bora lá! 😁

Passo 2

Nesse caso, a função interna é h x = 1 + s e n x 2 e a função externa é g h x = h x , então a derivada de k será

k ' x = d 1 + s e n x 2 d x · d h x d h x

Substituindo h x por uma variável qualquer, temos

k ' x = d 1 + s e n x 2 d x · d u d u

Se a derivada da soma é iguala a soma das derivadas, então

k ' x = d 1 d x + d s e n x 2 d x · d u d u

Perceba que na derivada de s e n x 2 também há uma função composta!

Como fica a derivada desse termo? 👀

Passo 3

Se p x = x 2 , então

d s e n x 2 d x = d x 2 d x · d s e n p x d p x

d s e n x 2 d x = d x 2 d x · d s e n v d v

Substituindo em k ' x ...

k ' x = d 1 d x + d x 2 d x · d s e n v d v · d u d u

Agora, pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

k ' x = 0 + 2 x · c o s v · 1 2 u

Organizando e substituindo u e v de volta...

k ' x = 2 x c o s x 2 · 1 2 1 + s e n x 2

k ' x = x c o s x 2 1 + s e n x 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

k ' x = x c o s x 2 1 + s e n x 2

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