5. Encontre a derivada das seguintes funções:

i) p x = ln ⁡ sec ⁡ x + t g x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função p x = ln ⁡ sec ⁡ x + t g x .

E aí, parece tranquilo? 🤔

Se analisarmos a equação, vamos ver que se trata de uma função composta.

Nesses casos, para calcular a derivada de uma função composta, aplicamos a regra da cadeia!

A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta f = g h x é dada pela derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa

f ' = h ' · g '

Entendeu? Bora lá! 😁

Passo 2

Se h x = sec ⁡ x + t g x e g h x = ln ⁡ h x , então

p ' x = d sec ⁡ x + t g x d x · d ln ⁡ h x d h x

Substituindo h x por uma variável...

p ' x = d sec ⁡ x + t g x d x · d ln ⁡ u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas de sec ⁡ x , t g x e l n u são

d sec ⁡ x d x = sec ⁡ x t g x

d t g x d x = s e c 2 x

d ln ⁡ u d u = 1 u

Substituindo em p ' x

p ' x = sec ⁡ x t g x + s e c 2 x · 1 u

Substituindo u e colocando sec ⁡ x em evidência

p ' x = sec ⁡ x t g x + s e c x · 1 sec ⁡ x + t g x

p ' x = sec ⁡ x t g x + s e c x sec ⁡ x + t g x

Cortando sec ⁡ x + t g x do numerador e do denominador...

p ' x = sec ⁡ x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

p ' x = sec ⁡ x

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