Encontre o domínio e a lei que definem a derivada de:

f x = ln ⁡ x 2 ln ⁡ x x

Passo 1

Falaaa, belezinha?? Bora para a última questão dessa prova. Ela nos pede para que a gente ache a derivada dessa função e determine o domínio dela.

Para começarmos a fazer, vamos ter que lembrar algumas fórmulas para derivada.

Primeiro vamos lembrar a regra da cadeira, se tivermos f x = g ( h x ) , temos:

f ' x = g ' h x ∙ h ' x

Além disso, temos a regra do quociente, se tivermos f x = g x h x , temos:

f ' x = g ' x h x - g x h ' ( x ) h x 2

Ou seja, basta aplicarmos essas fórmulas com as funções do enunciado, bora lá?

Passo 2

Bora começar aplicando a regra do quociente em f x = ln ⁡ x 2 ln ⁡ x x

Nesse caso, veja que:

f x = g x h ( x )

Onde:

g x = ln ⁡ x 2 ln ⁡ x

h x = x

Colocando na fórmula:

f ' x = x g ' x - g ( x ) x 2

Agora, precisamos achar g ' x , mas veja que para isso precisamos fazer a regra da cadeia. Bora olhar para ela

g x = ln ⁡ x 2 ln ⁡ x = r v x

Onde

r x = ln ⁡ x

v x = x 2 ln ⁡ x

Pela regra da cadeia:

g ' x = r ' v x ∙ v ' ( x )

Como r x = ln ⁡ x , temos que r ' x = 1 x , ou seja:

g ' x = 1 v ( x ) ∙ v ' x = v ' x x 2 l n ⁡ ( x )

Agora para nossa alegria apareceu outra função que não da para derivar direto, que precisamos de uma outra regra. Bora ver isso?

Passo 3

Temos que

g ' x = v ' x x 2 l n ⁡ ( x )

Onde v x = x 2 ln ⁡ x

Para achar v ' vamos lembrar a fórmula do produto:

Se temos f x = g x h ( x ) , temos que:

f ' x = g ' x h x + h ' x g ( x )

Agora bora aplicar essa regra em v .

v ' x = x 2 ' ln ⁡ x + x 2 ( ln ⁡ x ) '

Ou seja

v ' x = 2 x ln ⁡ x + x 2 x = 2 x ln ⁡ x + x

Agora podemos voltar para g ' .

g ' x = v ' x x 2 l n ⁡ ( x ) = 2 x ln ⁡ ( x ) + x x 2 ln ⁡ ( x )  

Ou seja

g ' x = 2 ln ⁡ x + 1 x ln ⁡ x

Agora conseguimos voltar para a expressão de f , bora lá

Passo 4

Voltando para expressão:

f ' x = x g ' x - g ( x ) x 2

Colocando que: g ' x = 2 ln ⁡ x + 1 x ln ⁡ x   e   g x = ln ⁡ x 2 ln ⁡ x  

Ou seja:

f ' x = x 2 ln ⁡ x + 1 x ln ⁡ x - ln ⁡ x 2 ln ⁡ x x 2

Logo: f ' x = 2 ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x - ln ⁡ x 2 ln ⁡ x x 2  

Por isso:

f ' x = 2 ln ⁡ x + 1 - ln ⁡ x 2 ln ⁡ x ln ⁡ x ln ⁡ ( x ) x 2

Agora basta analisar o domínio, bora lá?

Vale lembrar que o domínio são os possíveis valores de x em f ' ( x ) .

Veja que a única coisa que limita os valores de x dentro da expressão achada é ln ⁡ x ,   ln ⁡ x 2 ln ⁡ x e o denominador.

Bora analisar cada um desses casos:

De ln ⁡ x tiramos que x > 0 .

Olhando para   ln ⁡ x 2 ln ⁡ x tiramos que x 2 ln ⁡ x > 0 , ou seja ln ⁡ x > 0 , logo basta x > 1  

E o denominador deveria ser diferente de zero, mas com as restrições acima isso já ocorre.

Ou seja, o conjunto que possui todas essas restrições é ( 1 , + ∞ ) , sendo assim o domínio.

E assim terminamos mais um probleminha, bem chatinho com vários passos, mas um ótimo exercício para aprender as fórmulas de produto, quociente e regra da cadeia

Resposta

f ' x = 2 ln ⁡ x + 1 - ln ⁡ x 2 ln ⁡ x ln ⁡ x ln ⁡ ( x ) x 2

D o m í n i o = ( 1 , + ∞ )

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