(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(c) f x = cos ⁡ x 2 + 3 ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada a função f x = cos ⁡ x 2 + 3 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = cos ⁡ x 2 + 3 , então h x = x 2 + 3 e g h x = cos ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d x 2 + 3 d x · d cos ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x por uma variável qualquer u para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x 2 + 3 d x · d cos ⁡ u d u

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = 2 x · - sin ⁡ u

f ' x = - 2 x sin ⁡ u

Voltando u para x 2 + 3

f ' x = - 2 x sin ⁡ x 2 + 3

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = - 2 x sin ⁡ x 2 + 3

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