(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(f) f x = s i n ⁡ x + sin ⁡ x 2 ;

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada a função f x = s i n ⁡ x + sin ⁡ x 2 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

Podemos perceber que f x se trata da soma de funções, portanto a derivada de f x é dada pela derivada de cada função, ou seja

f x = p x + q x → f ' x = p ' x + q ' x

No caso, q x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

q x = g h x → q ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = s i n ⁡ x + sin ⁡ x 2 , então

f ' x = d sin ⁡ x d x + d sin ⁡ x 2 d x

Porém, a derivada de sin ⁡ x 2 é obtida a partir da regra da cadeia h x = x 2 e g h x = sen ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d sin ⁡ x d x + d x 2 d x · d sen ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x por uma variável qualquer u para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d sin ⁡ x d x + d x 2 d x · d sen ⁡ u d u

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = cos ⁡ x + 2 x · cos ⁡ u

f ' x = cos ⁡ x + 2 x cos ⁡ u

Voltando u para x 2

f ' x = cos ⁡ x + 2 x cos ⁡ x 2

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

f ' x = cos ⁡ x + 2 x cos ⁡ x 2

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