(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(i) f x = sin ⁡ cos ⁡ x x ;

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ cos ⁡ x x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Porém, a função interna é dada por uma fração de duas funções, então para sua derivada, temos que aplicar a regra do quociente dada por

h x = p x q x → h ' x = p ' x · q x - p x · q ' x q x 2

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ cos ⁡ x x , então h x = cos ⁡ x x e g h x = sin ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d cos ⁡ x x d x · d sin ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x por uma variável qualquer u para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d cos ⁡ x x d x · d sin ⁡ u d u

Aplicando a regra do quociente na derivada da fração...

f ' x = d cos ⁡ x d x · x - cos ⁡ x · d x d x x 2 · d sin ⁡ u d u

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = - sin ⁡ x · x - cos ⁡ x · 1 x 2 · cos ⁡ u

f ' x = - x sin ⁡ x - cos ⁡ x x 2 · cos ⁡ u

Voltando u para cos ⁡ x x

f ' x = - x sin ⁡ x - cos ⁡ x x 2 · cos ⁡ cos ⁡ x x

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = - x sin ⁡ x - cos ⁡ x x 2 · cos ⁡ cos ⁡ x x

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