(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(j) f x = sin ⁡ cos ⁡ x x ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ cos ⁡ x x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma fração entre duas funções, então primeiramente temos que aplicar a regra do quociente dada por

f x = g x h x → f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Porém, a função do denominador se trata de uma função composta e, portanto, para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

g x = p q x → g ' x = q ' x · p ' q x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ cos ⁡ x x , aplicando a regra do quociente, temos

f ' x = d sin ⁡ cos ⁡ x d x · x - sin ⁡ cos ⁡ x · d x d x x 2

Pela regra da cadeia, temos que a derivada de sin ⁡ cos ⁡ x é dada por

f ' x = d cos ⁡ x d x · d sin ⁡ q x d q x · x - sin ⁡ cos ⁡ x · d x d x x 2

Podemos substituir q x por uma variável qualquer u para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d cos ⁡ x d x · d sin ⁡ u d u · x - sin ⁡ cos ⁡ x · d x d x x 2

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = - sin ⁡ x · cos ⁡ u · x - sin ⁡ cos ⁡ x · 1 x 2

f ' x = - x sin ⁡ x cos ⁡ u - sin ⁡ cos ⁡ x x 2

Voltando u para cos ⁡ x

f ' x = - x sin ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x - sin ⁡ cos ⁡ x x 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = - x sin ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x - sin ⁡ cos ⁡ x x 2

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