(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(t) f x = sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x 4 ;

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x 4 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x 4 , então h x = sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x e g h x = h x 4 .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x d x · d h x 4 d h x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

f ' x = d sin ⁡ 3 x d x + d cos ⁡ 2 x d x · d h x 4 d h x

Perceba que as funções sin ⁡ 3 x e cos ⁡ 2 x também são funções compostas, então temos que aplicar a regra da cadeia pra elas também.

f ' x = d 3 x d x · d sin ⁡ p x d p x + d 2 x d x · d cos ⁡ q x d q x · d h x 4 d h x

Podemos substituir h x , q x e p x por variáveis quaisquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d 3 x d x · d sin ⁡ u d u + d 2 x d x · d cos ⁡ v d v · d w 4 d w

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = 3 · cos ⁡ u + 2 · - sin ⁡ v · 4 w 3

f ' x = 3 cos ⁡ u - 2 sin ⁡ v 4 w 3

Voltando w para sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x , v para 2 x e u para 3 x ...

f ' x = 3 cos ⁡ 3 x - 2 sin ⁡ 2 x 4 sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x 3

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

f ' x = 3 cos ⁡ 3 x - 2 sin ⁡ 2 x 4 sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x 3

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função. y = x 2 + 1 x 2 - 1 3
Encontre a derivada da função. y = r r 2 + 1
Encontre a derivada da função. d d x 2 sen ⁡ ( π x )
Encontre a derivada da função. y = x + x + x
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x