(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(u) f x = cos ⁡ 5 x sin ⁡ 2 x ;

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dada a função f x = cos ⁡ 5 x sin ⁡ 2 x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma fração entre duas funções, então primeiramente temos que aplicar a regra do quociente dada por

f x = g x h x → f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Porém, as funções do numerador e do denominador se tratam de funções compostas e, portanto, para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

g x = p q x → g ' x = q ' x · p ' q x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = cos ⁡ 5 x sin ⁡ 2 x , aplicando a regra do quociente, temos

f ' x = d cos ⁡ 5 x d x · sin ⁡ 2 x - cos ⁡ 5 x · d sin ⁡ 2 x d x sin ⁡ 2 x 2

Pela regra da cadeia, temos que as derivadas de cos ⁡ 5 x e sin ⁡ 2 x são dadas por

f ' x = d 5 x d x · d cos ⁡ r x d r t · sin ⁡ 2 x - cos ⁡ 5 x · d 2 x d x · d sin ⁡ t x d t x sin ⁡ 2 x 2

Podemos substituir r x e t x por variáveis quaisquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d 5 x d x · d cos ⁡ u d u · sin ⁡ 2 x - cos ⁡ 5 x · d 2 x d x · d sin ⁡ v d v sin ⁡ 2 x 2

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = 5 · - sin ⁡ u · sin ⁡ 2 x - cos ⁡ 5 x · 2 · cos ⁡ v sin ⁡ 2 x 2

f ' x = - 5 sin ⁡ u sin ⁡ 2 x - 2 cos ⁡ 5 x cos ⁡ v sin ⁡ 2 x 2

Voltando u para 5 x e v para 2 x

f ' x = - 5 sin ⁡ 5 x sin ⁡ 2 x - 2 cos ⁡ 5 x cos ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x 2

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = - 5 sin ⁡ 5 x sin ⁡ 2 x - 2 cos ⁡ 5 x cos ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x 2

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