(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(w) f x = cos 3 ⁡ x 3 ;

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada a função f x = cos 3 ⁡ x 3 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = cos 3 ⁡ x 3 , então h x = cos ⁡ x 3 e g h x = h x 3 .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d cos ⁡ x 3 d x · d h x 3 d h x

Perceba que cos ⁡ x 3 também é uma função composta, então temos que aplicar a regra da cadeia novamente para este termo...

f ' x = d x 3 d x · d cos ⁡ p x d p x · d h x 3 d h x

Podemos substituir h x e p x por variáveis quaisquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x 3 d x · d cos ⁡ u d u · d v 3 d v

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = 3 x 2 · - sin ⁡ u · 3 v 2

Voltando u para x 3 e v para cos ⁡ x 3 ...

f ' x = 3 x 2 · - sin ⁡ x 3 · 3 cos ⁡ x 3 2

f ' x = - 9 x 2 sin ⁡ x 3 cos 2 ⁡ x 3

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = - 9 x 2 sin ⁡ x 3 cos 2 ⁡ x 3

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