(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(x) f x = cos ⁡ x sin 2 ⁡ x ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada a função f x = cos ⁡ x sin 2 ⁡ x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma fração entre duas funções, então primeiramente temos que aplicar a regra do quociente dada por

f x = g x h x → f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Porém, a função do denominador se trata de uma função composta e, portanto, para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

g x = p q x → g ' x = q ' x · p ' q x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = cos ⁡ x sin 2 ⁡ x , aplicando a regra do quociente, temos

f ' x = d cos ⁡ x d x · sin 2 ⁡ x - cos ⁡ x · d sin 2 ⁡ x d x sin 2 ⁡ x 2

Pela regra da cadeia, temos que a derivada de sin 2 ⁡ x é dada por

f ' x = d cos ⁡ x d x · sin 2 ⁡ x - cos ⁡ x · d sin ⁡ x d x d q x 2 d q x sin 2 ⁡ x 2

Podemos substituir q x por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d cos ⁡ x d x · sin 2 ⁡ x - cos ⁡ x · d sin ⁡ x d x d u 2 d u sin 2 ⁡ x 2

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = - sin ⁡ x · sin 2 ⁡ x - cos ⁡ x · cos ⁡ x 2 u sin 2 ⁡ x 2

f ' x = - sin ⁡ x sin 2 ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x 2 u sin 4 ⁡ x

Simplificando...

f ' x = - sin 3 ⁡ x - 2 cos 2 ⁡ x u sin 4 ⁡ x

Voltando u para sin ⁡ x

f ' x = - sin 3 ⁡ x - 2 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x sin 4 ⁡ x

f ' x = - sin ⁡ x sin 2 ⁡ x + 2 cos 2 ⁡ x sin 4 ⁡ x

f ' x = - sin 2 ⁡ x + 2 cos 2 ⁡ x sin 3 ⁡ x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = - sin 2 ⁡ x + 2 cos 2 ⁡ x sin 3 ⁡ x

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))
Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x