(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(z) f x = csc ⁡ cot ⁡ x ;

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada a função f x = csc ⁡ cot ⁡ x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = csc ⁡ cot ⁡ x , então h x = cot ⁡ x e g h x = cs c ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d cot ⁡ x d x · d csc ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d cot ⁡ x d x · d csc ⁡ u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = - csc 2 ⁡ x · - cot ⁡ u csc ⁡ u

Voltando u para cot ⁡ x ...

f ' x = - csc 2 ⁡ x · - cot ⁡ cot ⁡ x csc ⁡ cot ⁡ x

f ' x = csc 2 ⁡ x cot ⁡ cot ⁡ x csc ⁡ cot ⁡ x

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

f ' x = csc 2 ⁡ x cot ⁡ cot ⁡ x csc ⁡ cot ⁡ x

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