(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(c) f x = sin 2 ⁡ x + sin ⁡ x 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada a função f x = sin 2 ⁡ x + sin ⁡ x 2 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin 2 ⁡ x + sin ⁡ x 2 , então h x = sin ⁡ x + sin ⁡ x 2 e g h x = h x 2 .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d sin ⁡ x + sin ⁡ x 2 d x · d h x 2 d h x

Aplicando a regra da cadeia novamente para a derivada de h x ...

f ' x = d x + sin ⁡ x 2 d x · d sin ⁡ p x d p x · d h x 2 d h x

E temos que aplicar a mesma regra mais uma fez para a derivada de x + sin ⁡ x 2

f ' x = d x + sin ⁡ x d x · d q x 2 d q x · d sin ⁡ p x d p x · d h x 2 d h x

Podemos substituir h x , p x e q x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x + sin ⁡ x d x · d u 2 d u · d sin ⁡ v d v · d w 2 d w

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = 1 + cos ⁡ x �� 2 u · cos ⁡ v · 2 w

f ' x = 4 1 + cos ⁡ x u cos ⁡ v w

Voltando u para x + sin ⁡ x , v para x + sin ⁡ x 2 e w para sin ⁡ x + sin ⁡ x 2 ...

f ' x = 4 1 + cos ⁡ x x + sin ⁡ x cos ⁡ x + sin ⁡ x 2 sin ⁡ x + sin ⁡ x 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = 4 1 + cos ⁡ x x + sin ⁡ x cos ⁡ x + sin ⁡ x 2 sin ⁡ x + sin ⁡ x 2

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