(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(d) f x = sin ⁡ x 3 cos ⁡ x 3

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Porém perceba que h x é uma fração de funções, portanto a sua derivada é obtida a partir da regra do quociente...

h x = p x q x → h ' x = p ' x · q x - p x · q ' x q x 2

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 , então h x = x 3 cos ⁡ x 3 e g h x = sin ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d x 3 cos ⁡ x 3 d x · d sin ⁡ h x d h x

Aplicando a regra do quociente para a derivada de h x ...

f ' x = d x 3 d x · cos ⁡ x 3 - x 3 · d cos ⁡ x 3 d x cos 2 ⁡ x 3 · d sin ⁡ h x d h x

E temos que aplicar a regra da cadeia mais uma vez para a derivada de cos ⁡ x 3

f ' x = d x 3 d x · cos ⁡ x 3 - x 3 · d x 3 d x · d cos ⁡ t x d t x cos 2 ⁡ x 3 · d sin ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x e t x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x 3 d x · cos ⁡ x 3 - x 3 · d x 3 d x · d cos ⁡ u d u cos 2 ⁡ x 3 · d sin ⁡ v d v

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = 3 x 2 · cos ⁡ x 3 - x 3 · 3 x 2 · - sin ⁡ u cos 2 ⁡ x 3 · cos ⁡ u

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x 3 + 3 x 6 sin ⁡ u cos 2 ⁡ x 3 cos ⁡ u

Voltando u para x 3 e v para x 3 cos ⁡ x 3 ...

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x 3 + 3 x 6 sin ⁡ x 3 cos 2 ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 cos ⁡ x 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x 3 + 3 x 6 sin ⁡ x 3 cos 2 ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 cos ⁡ x 3

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