(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(k) f x = sin ⁡ sin 7 ⁡ x 7 + 1 7

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ sin 7 ⁡ x 7 + 1 7 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ sin 7 ⁡ x 7 + 1 7 , então h x = sin 7 ⁡ x 7 + 1 7 e g h x = sin ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d sin 7 ⁡ x 7 + 1 7 d x · d sin ⁡ h x d h x

Aplicando a regra da cadeia novamente para a derivada de sin 7 ⁡ x 7 + 1 7 ...

f ' x = d sin 7 ⁡ x 7 + 1 d x · d p x 7 d p x · d sin ⁡ h x d h x

f ' x = d sin 7 ⁡ x 7 d x + d 1 d x · d p x 7 d p x · d sin ⁡ h x d h x

Temos que aplicar a regra da cadeia novamente na derivada de sin 7 ⁡ x 7

f ' x = d sin ⁡ x 7 d x · d q x 7 d q x + d 1 d x · d p x 7 d p x · d sin ⁡ h x d h x

E mais uma vez na derivada de sin ⁡ x 7 ...

f ' x = d x 7 d x · d sin ⁡ r x d r x · d q x 7 d q x + d 1 d x · d p x 7 d p x · d sin ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x , p x , q x e r x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x 7 d x · d sin ⁡ r d r · d q 7 d q + d 1 d x · d p 7 d p · d sin ⁡ h d h

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = 7 x 6 · cos ⁡ r · 7 q 6 + 0 · 7 p 6 · cos ⁡ h

Voltando h para sin 7 ⁡ x 7 + 1 7 , p para sin 7 ⁡ x 7 + 1 , q para sin ⁡ x 7 e r para x 7 ...

f ' x = 343 x 6 cos ⁡ x 7 sin 6 ⁡ x 7 sin 7 ⁡ x 7 + 1 6 cos ⁡ sin 7 ⁡ x 7 + 1 7

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = 343 x 6 cos ⁡ x 7 sin 6 ⁡ x 7 sin 7 ⁡ x 7 + 1 6 cos ⁡ sin 7 ⁡ x 7 + 1 7

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