(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(h) f x = sin 3 ⁡ sin 2 ⁡ sin ⁡ x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada a função f x = sin 3 ⁡ sin 2 ⁡ sin ⁡ x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin 3 ⁡ sin 2 ⁡ sin ⁡ x , então h x = sin ⁡ sin 2 ⁡ sin ⁡ x e g h x = h x 3 .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d sin ⁡ sin 2 ⁡ sin ⁡ x d x · d h x 3 d h x

Aplicando a regra da cadeia novamente para a derivada de h x ...

f ' x = d sin 2 ⁡ sin ⁡ x d x · d sin ⁡ p x d p x · d h x 3 d h x

E temos que aplicar a mesma regra mais uma vez para a derivada de sin 2 ⁡ sin ⁡ x

f ' x = d sin ⁡ sin ⁡ x d x · d q x 2 d x · d sin ⁡ p x d p x · d h x 3 d h x

Aplicando a regra da cadeia uma última vez na derivada de sin ⁡ sin ⁡ x

f ' x = d sin ⁡ x d x · d sin ⁡ r x d r x · d q x 2 d q x · d sin ⁡ p x d p x · d h x 3 d h x

Podemos substituir h x , p x , q x e r x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d sin ⁡ x d x · d sin ⁡ u d u · d v 2 d v · d sin ⁡ w d w · d h 3 d h

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = cos ⁡ x · cos ⁡ u · 2 v · cos ⁡ w · 3 h 2

f ' x = 6 cos ⁡ x cos ⁡ u v cos ⁡ w h 2

Voltando u para sin ⁡ x , v para sin ⁡ sin ⁡ x , w para sin 2 ⁡ sin ⁡ x e h para sin ⁡ sin 2 ⁡ sin ⁡ x ...

f ' x = 6 cos ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ sin 2 ⁡ sin ⁡ x sin 2 ⁡ sin 2 ⁡ sin ⁡ x

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = 6 cos ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ sin 2 ⁡ sin ⁡ x sin 2 ⁡ sin 2 ⁡ sin ⁡ x

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