(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(f) f x = cos ⁡ x 31 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada a função f x = cos ⁡ x 31 2 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = cos ⁡ x 31 2 , então h x = cos ⁡ x 31 e g h x = h x 2

Aplicando a regra da cadeia, temos

f ' x = d cos ⁡ x 31 d x · d h x 2 d h x

Aplicando a regra da cadeia novamente em cos ⁡ x 31 ...

f ' x = d cos ⁡ x d x · d p x 31 d p x · d h x 2 d h x

Podemos substituir p x e h x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d cos ⁡ x d x · d u 31 d u · d v 2 d v

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = - sin ⁡ x · 31 u 30 · 2 v

f ' x = - 62 sin ⁡ x u 30 v

Voltando u para cos ⁡ x e v para cos ⁡ x 31 ...

f ' x = - 62 sin ⁡ x cos 30 ⁡ x cos 31 ⁡ x

f ' x = - 62 sin ⁡ x cos 61 ⁡ x

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

f ' x = - 62 sin ⁡ x cos 61 ⁡ x

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