4. Encontre f ' x :

f x = sin ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x 5

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema apenas foi solicitado para calcularmos a derivada da função f x = sin ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x 5 .

Parece dificil? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função para sabermos qual método podemos aplicar para obter sua derivada...

Podemos perceber que f x é uma função composta, então a melhor maneira de calcular sua derivada é a partir da regra da cadeia.

Ao derivar uma função composta aplicando a regra da cadeia, primeiro temos que calcular a derivada da função de dentro e multiplicar pela deriva da função de fora, ou seja

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Bora ver como é isso na prática? 😬

Passo 2

A função que vamos derivar é dada por f x = sin ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x 5 .

Fazendo uma análise, vemos que a função interna é dada por h x = sin ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x e a função externa por g h x = h x 5 .

Calculando a derivada de f x pela regra da cadeia

f ' x = h ' x · g ' h x

f ' x = d sin ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x d x · d h x 5 d h x

Perceba que novamente caímos em uma derivada de uma função composta, então novamente temos que aplicar a regra da cadeia com a função interna.

f ' x = d cos 4 ⁡ tan ⁡ x d x · d sin ⁡ p x d p x · d h x 5 d h x

Novamente temos que aplicar a regra da cadeia na derivada de cos 4 ⁡ tan ⁡ x ...

f ' x = d cos ⁡ tan ⁡ x d x · d q x 4 d x · d sin ⁡ p x d p x · d h x 5 d h x

A função cos ⁡ tan ⁡ x ainda é uma função composta temos que aplicar a regra da cadeia mais uma vez

f ' x = d tan ⁡ x d x · d cos ⁡ r x d r x · d q x 4 d q x · d sin ⁡ p x d p x · d h x 5 d h x

E de novo pela última vez em tan ⁡ x

f ' x = d tan ⁡ x d x · d s x d s x · d cos ⁡ r x d r x · d q x 4 d q x · d sin ⁡ p x d p x · d h x 5 d h x

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Podemos substituir as funções omitidas por variáveis quaisquer para facilitar na visualização do que estamos fazendo...

f ' x = d tan ⁡ x d x · d s d s · d cos ⁡ r d r · d q 4 d q · d sin ⁡ p d p · d h 5 d h

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = sec 2 ⁡ x · 1 2 s · - sin ⁡ r · 4 q 3 · cos ⁡ p · 5 h 4

f ' x = - 10 sec 2 ⁡ x · 1 s · sin ⁡ r · q 3 · cos ⁡ p · h 4

Voltando s para tan ⁡ x , r para tan ⁡ x , q para cos ⁡ tan ⁡ x , p para cos 4 ⁡ tan ⁡ x e h para sin ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x ...

f ' x = - 10 sec 2 ⁡ x · 1 tan ⁡ x · sin ⁡ tan ⁡ x · cos ⁡ tan ⁡ x 3 · cos ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x · sin ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x 4

f ' x = - 10 sec 2 ⁡ x · 1 tan ⁡ x · sin ⁡ tan ⁡ x · cos 3 ⁡ tan ⁡ x · cos ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x · sin 4 ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x

f ' x = - 10 sec 2 ⁡ x sin ⁡ tan ⁡ x cos 3 ⁡ tan ⁡ x cos ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x sin 4 ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x tan ⁡ x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde A��

Resposta

f ' x = - 10 sec 2 ⁡ x sin ⁡ tan ⁡ x cos 3 ⁡ tan ⁡ x cos ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x sin 4 ⁡ cos 4 ⁡ tan ⁡ x tan ⁡ x

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